%!PS-Adobe-1.0 %%DocumentFonts: %%Creator: eroff/eps %%CreationDate: Mon Oct 17 17:26:28 1988 %%Pages: (atend) %%EndComments save 0.1000 dup scale /inch { 720.0000 mul } bind def /stm usertime def /pgc statusdict begin pagecount end def clippath pathbbox pop pop exch pop 0 exch translate clippath pathbbox /pgtop exch def pop pop pop /ps { print flush } bind def /lineWidthScale 1.0 def /page { showpage restore save home } bind def /home { newpath 0 pgtop moveto } bind def /mf { statusdict /manualfeed true put } bind def /af { statusdict /manualfeed false put } bind def af 0 0 moveto 2 setlinecap /y { neg 0 exch rmoveto } bind def /X { currentpoint exch pop moveto } bind def /Y { pgtop exch sub currentpoint pop exch moveto } bind def /s { show } bind def /l { neg rlineto currentpoint stroke moveto } bind def /c { 2 div /rad exch def currentpoint /y0 exch def /x0 exch def newpath x0 rad add y0 rad 0 360 arc stroke x0 rad add rad add y0 moveto } bind def /a { /y2 exch neg def /x2 exch def /y1 exch neg def /x1 exch def x1 y1 rmoveto currentpoint currentpoint x2 x2 mul y2 y2 mul add sqrt y1 neg x1 neg atan y2 x2 atan newpath arc stroke moveto x2 y2 rmoveto } bind def /e { currentlinewidth /elw exch def gsave 2 div /yrad exch def 2 div /xrad exch def currentpoint /y0 exch def /x0 exch def x0 xrad add y0 translate xrad yrad scale newpath 0 0 1 0 360 arc elw xrad div setlinewidth stroke grestore elw setlinewidth x0 xrad add xrad add y0 moveto } bind def /spln { rcurveto currentpoint stroke moveto } bind def /ft { /fonttype exch def /xsiz exch def /ysiz exch def /sl exch def fonttype [ xsiz pt 0 sl sin sl cos div ysiz pt mul ysiz pt 0 0 ] makefont setfont lineWidthScale xsiz mul 5.0 div setlinewidth } bind def /doImage {{currentfile rasterString readhexstring pop} image} bind def /pt { 10 mul } bind def 0.375 0.000000 add inch 0.25 inch translate /savematrix matrix currentmatrix def /roman-8-dict 20 dict def % Local storage /roman-8-mappings [ 8#260 /Adieresis 8#265 /Aring 8#276 /Aacute 8#300 /Agrave 8#311 /Acircumflex 8#314 /Atilde 8#321 /Ccedilla 8#322 /Edieresis 8#323 /Eacute 8#324 /Egrave 8#325 /Ecircumflex 8#326 /Idieresis 8#327 /Iacute 8#330 /Igrave 8#331 /Icircumflex 8#332 /Ntilde 8#333 /Odieresis 8#334 /Oacute 8#335 /Ograve 8#336 /Ocircumflex 8#337 /Otilde 8#340 /Scaron 8#342 /Udieresis 8#344 /Uacute 8#345 /Ugrave 8#346 /Ydieresis 8#347 /adieresis 8#354 /aring 8#355 /aacute 8#356 /agrave 8#357 /acircumflex 8#360 /atilde 8#362 /ccedilla 8#363 /edieresis 8#364 /eacute 8#366 /egrave 8#367 /ecircumflex 8#374 /idieresis 8#375 /iacute 8#376 /igrave 8#220 /icircumflex 8#221 /ntilde 8#222 /odieresis 8#223 /oacute 8#224 /ograve 8#225 /ocircumflex 8#226 /otilde 8#227 /scaron 8#230 /udieresis 8#231 /uacute 8#232 /ugrave 8#233 /ucircumflex 8#234 /ydieresis 8#235 /Ucircumflex ] def /AddRoman-8 { roman-8-dict begin /roman-8-mappings exch def /newName exch def /oldName exch def /oldDict oldName findfont def /newDict oldDict maxlength dict def oldDict { exch dup /FID ne { dup /Encoding eq { exch dup length array copy newDict 3 1 roll put } { exch newDict 3 1 roll put } ifelse } { pop pop } ifelse } forall newDict /FontName newName put 0 2 roman-8-mappings length 1 sub { dup roman-8-mappings exch get exch 1 add roman-8-mappings exch get newDict /Encoding get 3 1 roll put } for newName newDict definefont pop end } bind def /BracketFontDict 9 dict def /$workingdict 10 dict def BracketFontDict begin /FontType 3 def /FontName (Bracket) cvn def /FontMatrix [ 0.001 0 0 0.001 0 0] def /FontBBox [ -50 -250 1000 1000 ] def /Encoding 256 array def 0 1 255 { Encoding exch /.notdef put } for Encoding dup 65 /Cbv put dup 66 /Clt put dup 67 /Clk put dup 68 /Clb put dup 69 /Crt put dup 70 /Crk put dup 71 /Crb put dup 72 /Clc put dup 73 /Clf put dup 74 /Crc put dup 75 /Crf put dup 76 /Cbr put dup 77 /Crn put dup 78 /Cci put dup 79 /C|| put dup 80 /C^^ put dup 81 /Cr1 put dup 82 /Cr2 put pop /CharProcs 24 dict dup begin /setC { 0 -50 -250 500 1000 setcachedevice} bind def /C.bv {220 -250 moveto 0 1000 rlineto 60 0 rlineto 0 -1000 rlineto fill } bind def /C.cbar { 750 moveto 180 0 rlineto 0 -60 rlineto -180 0 rlineto fill } bind def /C.fbar { -250 moveto 180 0 rlineto 0 60 rlineto -180 0 rlineto fill } bind def /C.brk.end { 1 setlinewidth moveto rlineto rcurveto reversepath 60 0 rlineto rlineto rcurveto fill } bind def /C.setl {dup dtransform exch round exch idtransform pop setlinewidth } bind def /Cbv { 500 setC C.bv } bind def /Clt { 500 setC 0 150 50 210 140 250 0 730 0 150 50 250 200 250 0 750 220 -250 C.brk.end } bind def /Clk { 500 setC 1 setlinewidth 220 -250 moveto 0 400 rlineto 0 50 -50 100 -100 100 rcurveto 50 0 100 50 100 100 rcurveto 0 400 rlineto 60 0 rlineto 0 -400 rlineto 0 -50 -50 -100 -100 -100 rcurveto 50 0 100 -50 100 -100 rcurveto 0 -400 rlineto closepath fill } bind def /Clb { 500 setC 0 -150 50 -210 140 -250 0 -730 0 -150 50 -250 200 -250 0 -750 220 750 C.brk.end } bind def /Crt { 500 setC 0 150 -50 250 -200 250 0 750 0 150 -50 210 -140 250 0 730 220 -250 C.brk.end } bind def /Crk { 500 setC 1 setlinewidth 220 -250 moveto 0 400 rlineto 0 50 50 100 100 100 rcurveto -50 0 -100 50 -100 100 rcurveto 0 400 rlineto 60 0 rlineto 0 -400 rlineto 0 -50 50 -100 100 -100 rcurveto -50 0 -100 -50 -100 -100 rcurveto 0 -400 rlineto fill } bind def /Crb { 500 setC 0 -150 -50 -250 -200 -250 0 -750 0 -150 -50 -210 -140 -250 0 -730 220 750 C.brk.end } bind def /Clc { 500 setC C.bv 280 C.cbar } bind def /Clf { 500 setC C.bv 280 C.fbar } bind def /Crc { 500 setC C.bv 40 C.cbar } bind def /Crf { 500 setC C.bv 40 C.fbar } bind def /Cbr { 0 0 -50 -250 0 1000 setcachedevice 40 C.setl 0 -250 moveto 0 1000 rlineto stroke } bind def /Crn { 500 setC 40 C.setl 0 770 moveto 500 0 rlineto stroke } bind def /Cci { 1000 0 -50 -250 1000 1000 setcachedevice 40 C.setl 500 250 400 0 360 arc stroke } bind def /C|| { 170 0 -50 -250 170 1000 setcachedevice } bind def /C^^ { 80 0 -50 -250 80 1000 setcachedevice } bind def /Cr1 { 800 0 -50 -250 800 1000 setcachedevice 40 C.setl 0 setlinejoin 700 180 moveto -650 currentlinewidth add 0 rlineto 200 -200 rlineto 50 360 moveto 650 currentlinewidth sub 0 rlineto -200 200 rlineto stroke } bind def /Cr2 { 800 0 -50 -250 800 1000 setcachedevice 40 C.setl 2 setlinejoin 217 18 moveto -150 150 rlineto 150 150 rlineto -150 -150 rlineto 633 0 rlineto 50 360 moveto 633 0 rlineto -150 150 rlineto 150 -150 rlineto -150 -150 rlineto stroke } bind def end def /BuildChar { $workingdict begin /charcode exch def /fontdict exch def fontdict /CharProcs get begin fontdict /Encoding get charcode get load gsave 0 setlinecap 0 setgray newpath exec grestore end end } bind def end /BracketFont BracketFontDict definefont pop /f.ZD /ZapfDingbats findfont def /f.S /Symbol findfont def /f.S2 /BracketFont findfont def /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 10 10 f.R ft save home %%EndProlog 0 Y 720 X 840 Y 3060 X(.)s 720 X 2160 Y 2192 X(ARGONNE)s 2705 X(NATIONAL)s 3245 X(LABORATORY)s 720 X 2280 Y 2556 X(9700)s 2781 X(South)s 3040 X(Cass)s 3254 X(Avenue)s 720 X 2400 Y 2568 X(Argonne,)s 2967 X(Illinois)s 3301 X(60439)s 720 X 2952 Y 2352 X /Times-Bold /Times-Bold-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.B /Times-Bold-8 findfont def 0.0 12 12 f.B ft(LAPACK)s 2887 X(Working)s 3378 X(Note)s 3647 X(#2)s 720 X 3312 Y 998 X(Block)s 1322 X(Reduction)s 1879 X(of)s 2009 X(Matrices)s 2492 X(to)s 2622 X(Condensed)s 3219 X(Forms)s 3582 X(for)s 3765 X(Eigenvalue)s 4363 X(Computations)s 720 X 3792 Y 1555 X 0.0 11 11 f.B ft(Jack)s 1803 X(J.)s 1914 X(Dongarra,)s 2427 X(Sven)s 2682 X(J.)s 2793 X(Hammarling,)s 3454 X(and)s 3661 X(Danny)s 4002 X(C.)s 4137 X(Sorensen)s 720 X 4272 Y 2152 X 0.0 10 10 f.R ft(Mathematics)s 2693 X(and)s 2862 X(Computer)s 3287 X(Science)s 3622 X(Division)s 720 X 4632 Y 2419 X(Technical)s 2837 X(Memorandum)s 3428 X(No.)s 3600 X(99)s 720 X 5256 Y 2734 X(September)s 3186 X(1987)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 10 10 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 840 Y 3060 X(.)s 720 X 2160 Y 2760 X /Times-Bold /Times-Bold-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.B /Times-Bold-8 findfont def 0.0 11 11 f.B ft(ABSTRACT)s 720 X 2640 Y 0.0 10 10 f.R ft(In)s 834 X(this)s 1010 X(paper)s 1262 X(we)s 1409 X(describe)s 1772 X(block)s 2025 X(algorithms)s 2484 X(for)s 2631 X(the)s 2784 X(reduction)s 3192 X(of)s 3306 X(a)s 3381 X(real)s 3561 X(symmetric)s 4014 X(matrix)s 4307 X(to)s 4417 X(tridiagonal)s 4882 X(form)s 5108 X(and)s 5284 X(for)s 720 X 2760 Y(the)s 876 X(reduction)s 1287 X(of)s 1404 X(a)s 1482 X(general)s 1809 X(real)s 1992 X(matrix)s 2287 X(to)s 2399 X(either)s 2659 X(bidiagonal)s 3114 X(or)s 3230 X(Hessenberg)s 3728 X(form)s 3955 X(using)s 4205 X(Householder)s 4748 X(transformations.)s 720 X 2880 Y(The)s 904 X(approach)s 1298 X(is)s 1394 X(to)s 1501 X(aggregate)s 1917 X(the)s 2068 X(transformations)s 2724 X(and)s 2897 X(to)s 3004 X(apply)s 3255 X(them)s 3484 X(in)s 3591 X(a)s 3664 X(blocked)s 4009 X(fashion,)s 4357 X(thus)s 4554 X(achieving)s 4972 X(algorithms)s 720 X 3000 Y(that)s 899 X(are)s 1048 X(rich)s 1231 X(in)s 1337 X(matrix-matrix)s 1920 X(operations.)s 2414 X(These)s 2680 X(reductions)s 3124 X(to)s 3230 X(condensed)s 3679 X(form)s 3901 X(typically)s 4279 X(comprise)s 4673 X(a)s 4745 X(preliminary)s 5239 X(step)s 720 X 3120 Y(in)s 828 X(the)s 980 X(computation)s 1510 X(of)s 1623 X(eigenvalues)s 2124 X(or)s 2237 X(singular)s 2589 X(values.)s 2899 X(With)s 3129 X(this)s 3304 X(in)s 3412 X(mind,)s 3673 X(we)s 3819 X(also)s 4010 X(demonstrate)s 4528 X(how)s 4730 X(the)s 4882 X(initial)s 5146 X(reduc-)s 720 X 3240 Y(tion)s 912 X(to)s 1026 X(tridiagonal)s 1495 X(or)s 1614 X(bidiagonal)s 2072 X(form)s 2302 X(may)s 2510 X(be)s 2640 X(pipelined)s 3048 X(with)s 3262 X(the)s 3420 X(divide)s 3706 X(and)s 3885 X(conquer)s 4241 X(technique)s 4664 X(for)s 4815 X(computing)s 5278 X(the)s 720 X 3360 Y(eigensystem)s 1248 X(of)s 1365 X(a)s 1443 X(symmetric)s 1899 X(matrix)s 2194 X(or)s 2311 X(the)s 2467 X(singular)s 2824 X(value)s 3075 X(decomposition)s 3699 X(of)s 3817 X(a)s 3896 X(general)s 4224 X(matrix)s 4520 X(to)s 4633 X(achieve)s 4972 X(algorithms)s 720 X 3480 Y(which)s 989 X(are)s 1135 X(load)s 1332 X(balanced)s 1711 X(and)s 1880 X(rich)s 2060 X(in)s 2163 X(matrix-matrix)s 2743 X(operations.)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 10 10 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 840 Y 998 X /Times-Bold /Times-Bold-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.B /Times-Bold-8 findfont def 0.0 12 12 f.B ft(Block)s 1322 X(Reduction)s 1879 X(of)s 2009 X(Matrices)s 2492 X(to)s 2622 X(Condensed)s 3219 X(Forms)s 3582 X(for)s 3765 X(Eigenvalue)s 4363 X(Computations)s 720 X 1080 Y 1563 X /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft(Jack)s 1790 X(J.)s 1894 X(Dongarra**,)s 2500 X(Sven)s 2734 X(J.)s 2838 X(Hammarling,)s 3456 X(and)s 3649 X(Danny)s 3969 X(C.)s 4099 X(Sorensen*)s 720 X 1260 Y 2080 X 0.0 10 10 f.R ft(Mathematics)s 2621 X(and)s 2790 X(Computer)s 3215 X(Science)s 3550 X(Division)s 720 X 1380 Y 2395 X(Argonne)s 2769 X(National)s 3138 X(Laboratory)s 720 X 1500 Y 2509 X(Argonne,)s 2908 X(Illinois)s 3217 X(60439)s 720 X 1740 Y 2988 X(and)s 720 X 1980 Y 2302 X(Numerical)s 2748 X(Algorithms)s 3229 X(Group)s 3509 X(Ltd.)s 720 X 2100 Y 2639 X(Wilkinson)s 3081 X(House)s 720 X 2220 Y 2646 X(Jordan)s 2937 X(Hill)s 3118 X(Road)s 720 X 2340 Y 2627 X(Oxford)s 2940 X(OX2)s 3159 X(8DR)s 720 X 2940 Y 900 X 0.0 10 10 f.I ft(Abstract)s 1280 X 0.0 10 10 f.R ft(\320)s 1405 X(In)s 1514 X(this)s 1685 X(paper)s 1932 X(we)s 2074 X(describe)s 2432 X(block)s 2680 X(algorithms)s 3134 X(for)s 3276 X(the)s 3424 X(reduction)s 3827 X(of)s 3936 X(a)s 4006 X(real)s 4181 X(symmetric)s 4629 X(matrix)s 4916 X(to)s 5020 X(tridi-)s 720 X 3060 Y 900 X(agonal)s 1201 X(form)s 1430 X(and)s 1609 X(for)s 1760 X(the)s 1917 X(reduction)s 2329 X(of)s 2447 X(a)s 2525 X(general)s 2852 X(real)s 3035 X(matrix)s 3330 X(to)s 3442 X(either)s 3703 X(bidiagonal)s 4159 X(or)s 4276 X(Hessenberg)s 4775 X(form)s 5003 X(using)s 720 X 3180 Y 900 X(Householder)s 1452 X(transformations.)s 2146 X(The)s 2343 X(approach)s 2750 X(is)s 2859 X(to)s 2979 X(aggregate)s 3408 X(the)s 3572 X(transformations)s 4241 X(and)s 4427 X(to)s 4547 X(apply)s 4812 X(them)s 5055 X(in)s 5176 X(a)s 720 X 3300 Y 900 X(blocked)s 1251 X(fashion,)s 1605 X(thus)s 1807 X(achieving)s 2229 X(algorithms)s 2691 X(that)s 2875 X(are)s 3030 X(rich)s 3219 X(in)s 3331 X(matrix-matrix)s 3920 X(operations.)s 4420 X(These)s 4692 X(reductions)s 5142 X(to)s 720 X 3420 Y 900 X(condensed)s 1348 X(form)s 1569 X(typically)s 1946 X(comprise)s 2339 X(a)s 2410 X(preliminary)s 2903 X(step)s 3091 X(in)s 3196 X(the)s 3345 X(computation)s 3872 X(of)s 3982 X(eigenvalues)s 4480 X(or)s 4590 X(singular)s 4940 X(values.)s 720 X 3540 Y 900 X(With)s 1131 X(this)s 1307 X(in)s 1416 X(mind,)s 1678 X(we)s 1825 X(also)s 2017 X(demonstrate)s 2536 X(how)s 2739 X(the)s 2892 X(initial)s 3157 X(reduction)s 3564 X(to)s 3672 X(tridiagonal)s 4135 X(or)s 4248 X(bidiagonal)s 4700 X(form)s 4924 X(may)s 5126 X(be)s 720 X 3660 Y 900 X(pipelined)s 1304 X(with)s 1514 X(the)s 1668 X(divide)s 1951 X(and)s 2128 X(conquer)s 2482 X(technique)s 2903 X(for)s 3052 X(computing)s 3513 X(the)s 3668 X(eigensystem)s 4195 X(of)s 4311 X(a)s 4388 X(symmetric)s 4843 X(matrix)s 5137 X(or)s 720 X 3780 Y 900 X(the)s 1059 X(singular)s 1418 X(value)s 1671 X(decomposition)s 2297 X(of)s 2417 X(a)s 2497 X(general)s 2826 X(matrix)s 3123 X(to)s 3237 X(achieve)s 3577 X(algorithms)s 4041 X(which)s 4321 X(are)s 4478 X(load)s 4686 X(balanced)s 5076 X(and)s 720 X 3900 Y 900 X(rich)s 1080 X(in)s 1183 X(matrix-matrix)s 1763 X(operations.)s 720 X 4580 Y 0.0 11 11 f.B ft(1.)s 859 X(Introduction)s 720 X 4800 Y 970 X 0.0 11 11 f.R ft(The)s 1180 X(key)s 1378 X(to)s 1504 X(using)s 1783 X(a)s 1871 X(high-performance)s 2694 X(computer)s 3148 X(e)s /Cff { (f) show xsiz pt 20 div neg 0 rmoveto (f) s } bind def Cff(ectively)s 3651 X(is)s 3766 X(to)s 3893 X(avoid)s 4178 X(unnecessary)s 4753 X(memory)s 5160 X(refer-)s 720 X 4960 Y(ences.)s 1053 X(In)s 1179 X(most)s 1429 X(computers,)s 1949 X(data)s 2166 X(\257ows)s 2440 X(from)s 2688 X(memory)s 3089 X(into)s 3295 X(and)s 3487 X(out)s 3662 X(of)s 3787 X(registers)s 4192 X(and)s 4384 X(from)s 4631 X(registers)s 5036 X(into)s 5242 X(and)s 720 X 5120 Y(out)s 894 X(of)s 1018 X(functional)s 1496 X(units,)s 1772 X(which)s 2073 X(perform)s 2458 X(the)s 2625 X(given)s 2902 X(instructions)s 3450 X(on)s 3594 X(the)s 3762 X(data.)s 4034 X(Algorithm)s 4527 X(performance)s 5112 X(can)s 5297 X(be)s 720 X 5280 Y(dominated)s 1239 X(by)s 1404 X(the)s 1593 X(amount)s 1978 X(of)s 2123 X(memory)s 2543 X(tra)s /CFi { (f) show xsiz pt 20 div neg 0 rmoveto (\256) s } bind def CFi(c)s 2852 X(rather)s 3160 X(than)s 3403 X(by)s 3567 X(the)s 3755 X(number)s 4144 X(of)s 4289 X(\257oating-point)s 4943 X(operations)s 720 X 5440 Y(involved.)s 1192 X(The)s 1393 X(movement)s 1888 X(of)s 2010 X(data)s 2223 X(between)s 2618 X(memory)s 3015 X(and)s 3204 X(registers)s 3607 X(can)s 3790 X(be)s 3925 X(as)s 4048 X(costly)s 4343 X(as)s 4466 X(arithmetic)s 4943 X(operations)s 720 X 5600 Y(on)s 867 X(the)s 1038 X(data.)s 1313 X(This)s 1546 X(provides)s 1961 X(considerable)s 2551 X(motivation)s 3066 X(to)s 3189 X(restructure)s 3693 X(existing)s 4079 X(algorithms)s 4586 X(and)s 4780 X(to)s 4902 X(devise)s 5218 X(new)s 720 X 5760 Y(algorithms)s 1219 X(that)s 1412 X(minimize)s 1856 X(data)s 2066 X(movement.)s 720 X 5980 Y 970 X(Along)s 1279 X(these)s 1538 X(lines)s 1780 X(there)s 2032 X(has)s 2212 X(been)s 2452 X(much)s 2730 X(activity)s 3094 X(in)s 3214 X(the)s 3382 X(past)s 3593 X(few)s 3790 X(years)s 4054 X(involving)s 4511 X(redesign)s 4916 X(of)s 5042 X(some)s 5309 X(of)s 720 X 6140 Y(the)s 884 X(basic)s 1139 X(routines)s 1523 X(in)s 1639 X(linear)s 1917 X(algebra[10,)s 2430 X(7,)s 2531 X(9].)s 2707 X(A)s 2815 X(number)s 3179 X(of)s 3299 X(researchers)s 3817 X(have)s 4052 X(demonstrated)s 4672 X(the)s 4835 X(e)s Cff(ectiveness)s 720 X 6300 Y(of)s 856 X(block)s 1145 X(algorithms)s 1661 X(on)s 1816 X(a)s 1909 X(variety)s 2258 X(of)s 2394 X(modern)s 2774 X(computer)s 3233 X(architectures)s 3836 X(with)s 4077 X(vector-processing)s 4900 X(or)s 5036 X(parallel-)s 720 X 6460 Y(processing)s 1243 X(capabilities,)s 1825 X(on)s 1989 X(which)s 2311 X(potentially)s 2836 X(high)s 3086 X(performance)s 3691 X(can)s 3896 X(easily)s 4206 X(be)s 4363 X(degraded)s 4817 X(by)s 4981 X(excessive)s 720 X 6560 Y 0.0 8 8 f.R ft /Cru { 0 ysiz pt 5 div 2 copy rmoveto (_) show neg rmoveto } bind def Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru 720 X 6670 Y 0.0 9 9 f.R ft(*)s 809 X(Work)s 1059 X(supported)s 1459 X(in)s 1574 X(part)s 1759 X(by)s 1894 X(the)s 2049 X(Applied)s 2384 X(Mathematical)s 2924 X(Sciences)s 3284 X(subprogram)s 3759 X(of)s 3879 X(the)s 4034 X(O)s CFi(ce)s 4300 X(of)s 4420 X(Energy)s 720 X 6780 Y(Research,)s 1096 X(U.)s 1207 X(S.)s 1303 X(Department)s 1751 X(of)s 1849 X(Energy,)s 2155 X(under)s 2383 X(Contract)s 2716 X(W-31-109-Eng-38.)s 720 X 7000 Y(**)s 833 X(Work)s 1061 X(supported)s 1439 X(in)s 1532 X(part)s 1695 X(by)s 1808 X(the)s 1941 X(National)s 2274 X(Science)s 2577 X(Foundation.)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 9 9 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 520 Y 2968 X 0.0 11 11 f.R ft(- 2 -)s 720 X 880 Y(transfer)s 1081 X(of)s 1200 X(data)s 1438 X(between)s 1830 X(di)s /Cff { (f) show xsiz pt 20 div neg 0 rmoveto (f) s } bind def Cff(erent)s 2229 X(levels)s 2513 X(of)s 2632 X(memory)s 3026 X(\(vector)s 3363 X(registers,)s 3790 X(cache,)s 4093 X(local)s 4334 X(memory,)s 4757 X(main)s 5006 X(memory,)s 720 X 1040 Y(or)s 849 X(solid-state)s 1338 X(disks\)[8,)s 1738 X(10,)s 1894 X(1,)s 1995 X(12,)s 2151 X(2,)s 2252 X(3,)s 2353 X(4].)s 2537 X(This)s 2770 X(redesign)s 3178 X(has)s 3361 X(led)s 3532 X(to)s 3655 X(the)s 3826 X(development)s 4430 X(of)s 4558 X(algorithms)s 5066 X(that)s 5268 X(are)s 720 X 1200 Y(based)s 997 X(on)s 1135 X(matrix-vector)s 1759 X(and)s 1945 X(matrix-matrix)s 2583 X(techniques[10,)s 3244 X(2].)s 720 X 1420 Y 970 X(This)s 1198 X(approach)s 1630 X(to)s 1748 X(software)s 2156 X(construction)s 2731 X(is)s 2837 X(well)s 3059 X(suited)s 3355 X(to)s 3474 X(computers)s 3964 X(with)s 4193 X(a)s 4274 X(hierarchy)s 4719 X(of)s 4843 X(memory)s 5242 X(and)s 720 X 1580 Y(true)s 937 X(parallel-processing)s 1817 X(computers.)s 2377 X(A)s 2503 X(survey)s 2842 X(that)s 3054 X(provides)s 3479 X(a)s 3574 X(description)s 4109 X(of)s 4247 X(many)s 4538 X(advanced-computer)s 720 X 1740 Y(architectures)s 1312 X(may)s 1535 X(be)s 1672 X(found)s 1962 X(in)s 2082 X([6].)s 2299 X(For)s 2487 X(those)s 2754 X(architectures)s 3347 X(it)s 3444 X(is)s 3553 X(often)s 3813 X(preferable)s 4289 X(to)s 4410 X(partition)s 4818 X(the)s 4987 X(matrix)s 5309 X(or)s 720 X 1900 Y(matrices)s 1119 X(into)s 1319 X(blocks)s 1634 X(and)s 1820 X(to)s 1934 X(perform)s 2314 X(the)s 2476 X(computation)s 3054 X(by)s 3192 X(matrix-matrix)s 3830 X(operations)s 4315 X(on)s 4453 X(the)s 4615 X(blocks.)s 4958 X(By)s 5115 X(organ-)s 720 X 2060 Y(izing)s 972 X(the)s 1138 X(computation)s 1720 X(in)s 1838 X(this)s 2030 X(fashion)s 2385 X(we)s 2544 X(provide)s 2912 X(for)s 3072 X(full)s 3258 X(reuse)s 3521 X(of)s 3645 X(data)s 3860 X(while)s 4137 X(the)s 4304 X(block)s 4581 X(is)s 4688 X(held)s 4910 X(in)s 5029 X(cache)s 5309 X(or)s 720 X 2220 Y(local)s 985 X(memory.)s 1431 X(This)s 1679 X(approach)s 2131 X(avoids)s 2470 X(excessive)s 2941 X(movement)s 3457 X(of)s 3600 X(data)s 3833 X(to)s 3970 X(and)s 4179 X(from)s 4443 X(memory)s 4860 X(and)s 5069 X(gives)s 5352 X(a)s 720 X 2380 Y /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft(surface-to-volume)s 1557 X 0.0 11 11 f.R ft(e)s Cff(ect)s 1840 X(for)s 2008 X(the)s 2183 X(ratio)s 2425 X(of)s 2557 X(arithmetic)s 3043 X(operations)s 3541 X(to)s 3668 X(data)s 3891 X(movement,)s 4424 X(i.e.)s 4628 X 0.0 11 11 f.I ft(O)s 4725 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(n)s 2336 Y 4829 X 0.0 8 8 f.R ft(3)s 2380 Y 4878 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 4955 X(arithmetic)s 720 X 2540 Y(operations)s 1220 X(to)s 1349 X 0.0 11 11 f.I ft(O)s 1446 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(n)s 2496 Y 1550 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 2540 Y 1599 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 1678 X(data)s 1902 X(movement.)s 2464 X(In)s 2597 X(addition,)s 3028 X(on)s 3180 X(architectures)s 3780 X(that)s 3987 X(provide)s 4364 X(for)s 4533 X(parallel)s 4903 X(processing,)s 720 X 2700 Y(parallelism)s 1239 X(can)s 1421 X(be)s 1555 X(exploited)s 1995 X(in)s 2112 X(two)s 2308 X(ways:)s 2623 X(\(1\))s 2781 X(operations)s 3269 X(on)s 3410 X(distinct)s 3766 X(blocks)s 4084 X(may)s 4304 X(be)s 4438 X(performed)s 4924 X(in)s 5041 X(parallel;)s 720 X 2860 Y(and)s 908 X(\(2\))s 1065 X(within)s 1377 X(the)s 1540 X(operations)s 2026 X(on)s 2165 X(each)s 2393 X(block,)s 2694 X(scalar)s 2977 X(or)s 3097 X(vector)s 3399 X(operations)s 3885 X(may)s 4103 X(be)s 4235 X(performed)s 4719 X(in)s 4834 X(parallel.)s 5247 X(For)s 720 X 3020 Y(a)s 797 X(description)s 1314 X(of)s 1434 X(blocked)s 1810 X(implementation)s 2530 X(for)s 2686 X(Cholesky)s 3132 X(factorization,)s 3743 X(LU)s 3919 X(decomposition,)s 4625 X(and)s 4813 X(matrix)s 5130 X(multi-)s 720 X 3180 Y(ply)s 889 X(and)s 1075 X(the)s 1237 X(speci\256cations)s 1863 X(for)s 2018 X(a)s 2094 X(set)s 2244 X(of)s 2363 X(building)s 2759 X(blocks)s 3074 X(to)s 3188 X(aid)s 3350 X(the)s 3512 X(development)s 4107 X(of)s 4226 X(block)s 4498 X(algorithms)s 4997 X(see)s 5164 X([5].)s 720 X 3400 Y 970 X(Many)s 1265 X(of)s 1395 X(the)s 1568 X(most)s 1822 X(successful)s 2311 X(algorithms)s 2821 X(for)s 2987 X(computing)s 3497 X(eigenvalues)s 4053 X(or)s 4184 X(singular)s 4578 X(values)s 4898 X(of)s 5029 X(matrices)s 720 X 3560 Y(require)s 1058 X(an)s 1190 X(initial)s 1477 X(reduction)s 1920 X(to)s 2035 X(condensed)s 2526 X(form.)s 2824 X(Typically,)s 3302 X(this)s 3491 X(condensed)s 3982 X(form)s 4224 X(is)s 4327 X(well)s 4545 X(suited)s 4837 X(to)s 4951 X(the)s 5113 X(imple-)s 720 X 3720 Y(mentation)s 1205 X(of)s 1341 X(an)s 1489 X(underlying)s 2010 X(iterative)s 2414 X(process)s 2787 X(used)s 3033 X(to)s 3164 X(compute)s 3587 X(the)s 3767 X(eigenvalues)s 4330 X(or)s 4467 X(singular)s 4867 X(values.)s 5249 X(We)s 720 X 3880 Y(present)s 1068 X(block)s 1344 X(algorithms)s 1846 X(suitable)s 2219 X(for)s 2377 X(computing)s 2879 X(three)s 3128 X(di)s Cff(erent)s 3530 X(condensed)s 4023 X(forms.)s 4366 X(These)s 4658 X(are)s 4821 X(the)s 4986 X(reduction)s 720 X 4040 Y(of)s 853 X(a)s 943 X(symmetric)s 1449 X(matrix)s 1778 X(to)s 1906 X(tridiagonal)s 2424 X(form,)s 2707 X(and)s 2907 X(the)s 3083 X(reduction)s 3539 X(of)s 3672 X(a)s 3762 X(\(real\))s 4039 X(general)s 4402 X(matrix)s 4731 X(to)s 4859 X(either)s 5151 X(upper)s 720 X 4200 Y(Hessenberg)s 1261 X(form)s 1505 X(or)s 1627 X(bidiagonal)s 2122 X(form.)s 2422 X(The)s 2623 X(reduction)s 3068 X(of)s 3190 X(a)s 3269 X(symmetric)s 3764 X(matrix)s 4082 X(to)s 4199 X(tridiagonal)s 4705 X(form)s 4948 X(dominates)s 720 X 4360 Y(the)s 886 X(computation)s 1468 X(of)s 1591 X(eigenvalues)s 2141 X(if)s 2241 X(no)s 2384 X(eigenvectors)s 2970 X(are)s 3135 X(required)s 3532 X(and)s 3723 X(represents)s 4199 X(about)s 4476 X(half)s 4679 X(the)s 4846 X(work)s 5104 X(if)s 5204 X(both)s 720 X 4520 Y(eigenvalues)s 1275 X(and)s 1471 X(eigenvectors)s 2062 X(are)s 2232 X(sought.)s 2620 X(A)s 2737 X(similar)s 3081 X(remark)s 3428 X(is)s 3540 X(appropriate)s 4076 X(for)s 4241 X(the)s 4413 X(reduction)s 4865 X(of)s 4994 X(a)s 5079 X(general)s 720 X 4680 Y(matrix)s 1039 X(to)s 1157 X(bidiagonal)s 1653 X(form)s 1899 X(in)s 2018 X(preparation)s 2549 X(for)s 2709 X(the)s 2876 X(computation)s 3459 X(of)s 3583 X(singular)s 3970 X(values.)s 4339 X(When)s 4633 X(the)s 4800 X(full)s 4986 X(eigensys-)s 720 X 4840 Y(tem)s 928 X(or)s 1062 X(singular)s 1459 X(value)s 1739 X(decomposition)s 2430 X(is)s 2547 X(desired)s 2906 X(then)s 3137 X(divide)s 3454 X(and)s 3654 X(conquer)s 4048 X(techniques)s 4559 X(are)s 4733 X(appropriate)s 5273 X(for)s 720 X 5000 Y(both)s 950 X(of)s 1075 X(these)s 1334 X(computations)s 1961 X(and)s 2153 X(we)s 2314 X(shall)s 2556 X(discuss)s 2908 X(how)s 3131 X(to)s 3251 X(pipeline)s 3639 X(the)s 3807 X(reduction)s 4255 X(to)s 4376 X(condensed)s 4873 X(form)s 5121 X(with)s 5352 X(a)s 720 X 5160 Y(divide)s 1023 X(and)s 1209 X(conquer)s 1589 X(scheme.)s 720 X 5480 Y /Times-Bold /Times-Bold-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.B /Times-Bold-8 findfont def 0.0 11 11 f.B ft(2.)s 859 X(The)s 1071 X(Algorithm)s 1587 X(-)s 1651 X(Reduction)s 2162 X(to)s 2281 X(Tridiagonal)s 2868 X(Form)s 720 X 5700 Y 970 X 0.0 11 11 f.R ft(We)s 1149 X(usually)s 1495 X(think)s 1750 X(of)s 1869 X(applying)s 2282 X(a)s 2358 X(sequence)s 2786 X(of)s 2905 X(Householder)s 3494 X(transformations)s 4212 X(to)s 4327 X(reduce)s 4646 X(the)s 4809 X(original)s 5180 X(sym-)s 720 X 5860 Y(metric)s 1034 X(matrix)s 1354 X(to)s 1473 X(symmetric)s 1970 X(tridiagonal)s 2479 X(form.)s 2781 X(We)s 2965 X(apply)s 3242 X(the)s 3409 X(transformations)s 4131 X(as)s 4255 X(similarity)s 4711 X(transformations)s 720 X 6020 Y(to)s 834 X(preserve)s 1231 X(the)s 1393 X(eigenvalues)s 1938 X(of)s 2057 X(the)s 2219 X(original)s 2589 X(matrix.)s 2960 X(The)s 3158 X(process)s 3514 X(can)s 3693 X(be)s 3824 X(described)s 4271 X(as)s 4390 X(follows:)s 720 X 6240 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(P)s 6262 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6240 Y 1368 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(I)s 1543 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6262 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6240 Y 1746 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6262 Y 1807 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6196 Y 1807 X(T)s 6240 Y 1861 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 1898 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6262 Y 2071 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6196 Y 2071 X(T)s 6240 Y 2125 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6262 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6240 Y 2211 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( 2)s 720 X 6460 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(T)s 1341 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(P)s 6482 Y 0.0 8 8 f.I ft(n)s 1591 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6460 Y 1684 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 6427 Y( . . . )s 6460 Y( )s 0.0 11 11 f.I ft(P)s 6482 Y 2016 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6460 Y 2065 X 0.0 11 11 f.I ft(P)s 6482 Y 2145 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6460 Y 2194 X 0.0 11 11 f.I ft(AP)s 6482 Y 2341 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6460 Y 2390 X 0.0 11 11 f.I ft(P)s 6482 Y 2470 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6460 Y 2519 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 6427 Y( . . . )s 6460 Y( )s 0.0 11 11 f.I ft(P)s 6482 Y 0.0 8 8 f.I ft(n)s 2891 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(2.)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 8 8 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 520 Y 2968 X 0.0 11 11 f.R ft(- 3 -)s 720 X 880 Y(Each)s 968 X(transformation)s 1644 X /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft(P)s 902 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 880 Y 1772 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 1876 X(designed)s 2296 X(to)s 2412 X(introduce)s 2856 X(zeros)s 3116 X(in)s 3232 X(the)s 3396 X 0.0 11 11 f.I ft(i)s 836 Y 3440 X 0.0 8 8 f.I ft(th)s 880 Y 3541 X 0.0 11 11 f.R ft(column)s 3901 X(\(and)s 4125 X(row\))s 4362 X(of)s 4484 X(the)s 4649 X(matrix)s 4967 X(below)s 5266 X(the)s 720 X 1040 Y(subdiagonal)s 1283 X(\(and)s 1509 X(above)s 1802 X(the)s 1968 X(superdiagonal\))s 2651 X(so)s 2781 X(as)s 2904 X(to)s 3022 X(leave)s 3284 X(the)s 3449 X(upper)s 3729 X(part)s 3930 X(of)s 4052 X(the)s 4217 X(matrix)s 4535 X(in)s 4680 X(tridiagonal)s 5187 X(form)s 720 X 1200 Y(and)s 934 X(the)s 1096 X(lower)s 1373 X(part)s 1571 X(full)s 1752 X(and)s 1938 X(symmetric.)s 2486 X(At)s 2624 X(the)s 2786 X 0.0 11 11 f.I ft(i)s 1156 Y 2830 X 0.0 8 8 f.I ft(th)s 1200 Y 2929 X 0.0 11 11 f.R ft(step)s 3134 X(of)s 3253 X(the)s 3415 X(process,)s 3799 X(the)s 3961 X(matrix)s 4276 X(is)s 4378 X(of)s 4497 X(the)s 4659 X(form)s 720 X 1387 Y 1288 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 1497 Y 1288 X(A)s 1607 Y 1288 X(A)s 1717 Y 1288 X(A)s 1827 Y 1288 X(A)s 1937 Y 1288 X(A)s 2047 Y 1288 X(A)s 2157 Y 1288 X(D)s 1497 Y 1399 X 0.0 11 11 f.I ft(x)s 1387 Y 1399 X(x)s 1607 Y 1503 X(x)s 1497 Y 1503 X(x)s 1387 Y 1503 X(x)s 1717 Y 1617 X(.)s 1607 Y 1617 X(.)s 1497 Y 1607 X(x)s 1827 Y 1711 X(x)s 1717 Y 1721 X(.)s 1607 Y 1721 X(.)s 2157 Y 1815 X(x)s 2047 Y 1815 X(x)s 1937 Y 1815 X(x)s 1827 Y 1815 X(x)s 1717 Y 1815 X(x)s 2157 Y 1919 X(x)s 2047 Y 1919 X(x)s 1937 Y 1919 X(x)s 1827 Y 1919 X(x)s 2157 Y 2023 X(x)s 2047 Y 2023 X(x)s 1937 Y 2023 X(x)s 1827 Y 2023 X(x)s 2157 Y 2127 X(x)s 2047 Y 2127 X(x)s 1937 Y 2127 X(x)s 1827 Y 2127 X(x)s 1387 Y 2231 X 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 1497 Y 2231 X(A)s 1607 Y 2231 X(A)s 1717 Y 2231 X(A)s 1827 Y 2231 X(A)s 1937 Y 2231 X(A)s 2047 Y 2231 X(A)s 2157 Y 2231 X(G)s 1772 Y 0.0 11 11 f.I ft(.)s 720 X 2426 Y 970 X 0.0 11 11 f.R ft(To)s 1134 X(describe)s 1540 X(the)s 1716 X(algorithmic)s 2265 X(details)s 2594 X(of)s 2727 X(this)s 2929 X(reduction,)s 3414 X(we)s 3584 X(use)s 3773 X(the)s 3950 X(notation)s 4354 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 2382 Y 4434 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(i)s 4495 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 4576 X 0.0 8 8 f.R ft(,)s 4621 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 4656 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 4724 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 2426 Y 4802 X 0.0 11 11 f.R ft(to)s 4931 X(denote)s 5266 X(the)s 720 X 2586 Y(\()s 0.0 11 11 f.I ft(n)s 829 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(i)s 939 X 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft(1\))s 0.0 11 11 f.S ft(\264)s 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(n)s 1261 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 1331 X 0.0 11 11 f.I ft(j)s 1380 X 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft(1\))s 1562 X(submatrix)s 2031 X(of)s 2151 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 2247 X 0.0 11 11 f.R ft(beginning)s 2716 X(at)s 2824 X(the)s 2987 X(\()s 0.0 11 11 f.I ft(i)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 3100 X 0.0 11 11 f.I ft(j)s 3140 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 3205 X(location)s 3588 X(of)s 3708 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 0.0 11 11 f.R ft(;)s 3835 X(we)s 3991 X(denote)s 4312 X(the)s 4475 X(subvector)s 4930 X(of)s 5050 X(a)s 5127 X(vector)s 720 X 2746 Y 0.0 11 11 f.I ft(a)s 807 X 0.0 11 11 f.R ft(beginning)s 1279 X(at)s 1390 X(the)s 1556 X 0.0 11 11 f.I ft(i)s 1605 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(th)s 1784 X 0.0 11 11 f.R ft(position)s 2172 X(by)s 2314 X 0.0 11 11 f.I ft(a)s 2702 Y 2382 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2443 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 2511 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 2746 Y 2546 X 0.0 11 11 f.R ft(;)s 2609 X(and)s 2799 X(the)s 2965 X 0.0 11 11 f.I ft(i)s 3014 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(th)s 3193 X 0.0 11 11 f.R ft(component)s 3713 X(of)s 3836 X(a)s 3916 X(vector)s 4221 X 0.0 11 11 f.I ft(a)s 4309 X 0.0 11 11 f.R ft(by)s 4452 X 0.0 11 11 f.I ft(a)s 2702 Y 4520 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(i)s 4574 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 2746 Y 4609 X 0.0 11 11 f.R ft(.)s 4698 X(The)s 4901 X(vector)s 5207 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 2768 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2746 Y 5326 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 720 X 2906 Y(constructed)s 1253 X(from)s 1494 X(the)s 1656 X 0.0 11 11 f.I ft(i)s 2862 Y 1700 X 0.0 8 8 f.I ft(th)s 2906 Y 1799 X 0.0 11 11 f.R ft(column)s 2157 X(of)s 2276 X(the)s 2438 X(reduced)s 2811 X(matrix)s 3126 X(so)s 3252 X(that)s 720 X 3126 Y 1270 X 0.0 11 11 f.S ft(a)s 3148 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3126 Y 1370 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(sign)s 1763 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(a)s 3148 Y 1860 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3082 Y 1860 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(i)s 1921 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 3126 Y 2040 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 2094 X(|)s 2152 X(|)s 2192 X 0.0 11 11 f.I ft(a)s 3148 Y 2253 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3082 Y 2253 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2314 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 2466 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 3126 Y 2519 X 0.0 11 11 f.R ft(|)s 2577 X(|)s 3148 Y 2617 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 720 X 3346 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3368 Y 1331 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3302 Y 1331 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(i)s 1392 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 3346 Y 1511 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(sqrt)s 1831 X 0.0 11 11 f.R ft(\(1 )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(a)s 3368 Y 2100 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3302 Y 2100 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2161 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 3346 Y 2280 X 0.0 11 11 f.I ft(/)s 0.0 11 11 f.S ft(a)s 3368 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3346 Y 2411 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 720 X 3566 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3588 Y 1331 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3522 Y 1331 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(i)s 1392 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(2:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 1544 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 3566 Y 1579 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(a)s 3588 Y 1831 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3522 Y 1831 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(i)s 1892 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(2:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 2044 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 3566 Y 2079 X 0.0 11 11 f.I ft(/)s 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(alpha)s 3588 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3566 Y 2428 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3588 Y 2489 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3522 Y 2489 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2550 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 3566 Y 2669 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 720 X 3786 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3808 Y 1331 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3742 Y 1331 X 0.0 8 8 f.R ft(\(1:)s 0.0 8 8 f.I ft(i)s 1447 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 3786 Y 1482 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( 0 )s 0.0 11 11 f.I ft(.)s 720 X 4066 Y 970 X 0.0 11 11 f.R ft(In)s 1089 X(practice)s 1462 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 4088 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 4066 Y 1576 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 1678 X(constructed)s 2211 X(and)s 2397 X(applied)s 2748 X(to)s 2862 X(the)s 3024 X(matrix)s 3339 X(as)s 3458 X(follows:)s 720 X 4286 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 4308 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 4286 Y 1349 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 4308 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 4286 Y 1577 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 4308 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 720 X 4506 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 4528 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 4506 Y 1349 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(y)s 4528 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 4506 Y 1558 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s /C12 { (1) (2) Cfract } bind def /Cfract{ /fbot exch def /ftop exch def currentfont currentpoint /f0 ysiz pt 2 div def (0) stringwidth pop 2 div 0 rmoveto (\244)show currentpoint 4 2 roll moveto 0 f0 0.75 mul rmoveto fonttype [ xsiz pt 2 div 0 0 f0 0 0 ]makefont setfont ftop show moveto fbot show setfont }bind def C12(\()s 0.0 11 11 f.I ft(y)s 4528 Y 1839 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 4462 Y 1839 X(T)s 4506 Y 1893 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 4528 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 4506 Y 1979 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 4528 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 720 X 4726 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 4748 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 1372 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 4726 Y 1465 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 4748 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 4726 Y 1693 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 4748 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 4726 Y 1896 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 4748 Y 1950 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 4682 Y 1950 X(T)s 4726 Y 2004 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 4748 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 4726 Y 2200 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 4748 Y 2261 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 4682 Y 2261 X(T)s 4726 Y 2315 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(.)s 5190 X 0.0 11 11 f.R ft(\(2.1\))s 720 X 5106 Y(In)s 842 X(the)s 1007 X(process)s 1366 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 1464 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 1569 X(repeatedly)s 2055 X(modi\256ed)s 2478 X(by)s 2619 X(a)s 2698 X(symmetric)s 3193 X(rank-two)s 3619 X(update.)s 3970 X(This)s 4197 X(requires)s 4580 X(updates)s 4946 X(to)s 5064 X(half)s 5266 X(the)s 720 X 5266 Y(\()s 0.0 11 11 f.I ft(n)s 829 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(i)s 930 X 0.0 11 11 f.R ft(\) )s 0.0 11 11 f.S ft(\264)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(n)s 1183 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(i)s 1284 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 1355 X(elements)s 1780 X(of)s 1906 X(the)s 2075 X(symmetric)s 2574 X(matrix)s 2896 X(at)s 3010 X(each)s 3244 X(stage)s 3504 X(of)s 3630 X(the)s 3799 X(process.)s 4218 X(\(There)s 4542 X(are)s 4708 X(numerous)s 5175 X(ways)s 720 X 5426 Y(to)s 836 X(construct)s 1268 X(Householder)s 1858 X(vectors)s 2204 X([14],)s 2444 X(we)s 2601 X(have)s 2837 X(chosen)s 3171 X(this)s 3361 X(approach)s 3791 X(for)s 3948 X(simplicity)s 4421 X(and)s 4610 X(numerical)s 5079 X(porper-)s 720 X 5586 Y(ties.\))s 720 X 5906 Y 748 X(PP)s 903 X(To)s 1056 X(achieve)s 1420 X(better)s 1700 X(memory)s 2097 X(utilization)s 2576 X(we)s 2735 X(can)s 2918 X(consider)s 3321 X(aggregating)s 3870 X(a)s 3950 X(sequence)s 4382 X(of)s 4505 X(transformations,)s 5254 X(say)s 720 X 6066 Y 0.0 11 11 f.I ft(p)s 816 X 0.0 11 11 f.R ft(of)s 948 X(them,)s 1237 X(so)s 1376 X(that)s 1582 X(the)s 1756 X(matrix)s 2083 X(will)s 2295 X(be)s 2438 X(updated)s 2825 X(by)s 2975 X(a)s 3063 X(rank)s 3297 X(2)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 3447 X 0.0 11 11 f.R ft(symmetric)s 3951 X(matrix.)s 4306 X(Such)s 4566 X(an)s 4709 X(implementation)s 720 X 6226 Y(would)s 1032 X(be)s 1172 X(as)s 1300 X(follows:)s 1726 X(instead)s 2074 X(of)s 2202 X(explicitly)s 2655 X(updating)s 3077 X(the)s 3248 X(matrix)s 3572 X(with)s 3806 X(the)s 3978 X(rank)s 4210 X(two)s 4413 X(change,)s 4788 X(we)s 4953 X(form)s 5204 X(only)s 720 X 6386 Y(the)s 882 X(second)s 1214 X(column)s 1572 X(\(row\))s 1842 X(of)s 1961 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 6408 Y 2041 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6386 Y 2090 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2146 X(say)s 2320 X 0.0 11 11 f.I ft(a)s 6408 Y 2388 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6386 Y 2437 X 0.0 11 11 f.R ft(.)s 2493 X(We)s 2672 X(then)s 2889 X(update)s 3209 X 0.0 11 11 f.I ft(a)s 6408 Y 3277 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6386 Y 3354 X 0.0 11 11 f.R ft(by)s 3492 X(applying)s 3905 X(\(2.1\))s 4143 X(in)s 4257 X(the)s 4419 X(following)s 4875 X(way:)s 720 X 6606 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(a)s 6628 Y 1338 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6606 Y 1387 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(a)s 6628 Y 1585 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6606 Y 1634 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 6628 Y 1805 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6562 Y 1805 X(\(2\))s 6606 Y 1906 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6628 Y 1974 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6606 Y 2023 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6628 Y 2201 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6562 Y 2201 X(\(2\))s 6606 Y 2302 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 6628 Y 2363 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6606 Y 2412 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(.)s 720 X 6826 Y 0.0 11 11 f.R ft(From)s 992 X(this)s 1185 X(we)s 1345 X(can)s 1529 X(compute)s 1940 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6848 Y 2008 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6826 Y 2057 X 0.0 11 11 f.R ft(;)s 2121 X(and)s 2312 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 6848 Y 2373 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6826 Y 2455 X 0.0 11 11 f.R ft(would)s 2763 X(be)s 2899 X(formed)s 3248 X(as,)s 3400 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 6848 Y 3461 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6826 Y 3510 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 6848 Y 3720 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6826 Y 3769 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6848 Y 3837 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6826 Y 3886 X 0.0 11 11 f.R ft(.)s 3975 X(However)s 4408 X(we)s 4569 X(have)s 4809 X(not)s 4984 X(explicitly)s 720 X 6986 Y(formed)s 1064 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 7008 Y 1144 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6986 Y 1193 X 0.0 11 11 f.R ft(.)s 1249 X(We)s 1428 X(can)s 1607 X(construct)s 2037 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 7008 Y 2098 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6986 Y 2175 X 0.0 11 11 f.R ft(as)s 2294 X(follows:)s 720 X 7206 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 7228 Y 1331 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 7206 Y 1380 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 7228 Y 1590 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 7206 Y 1639 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 7228 Y 1707 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 8 8 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 520 Y 2968 X 0.0 11 11 f.R ft(- 4 -)s 720 X 880 Y 1380 X( )s /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 902 Y 1626 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 880 Y 1675 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 902 Y 1860 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 880 Y 1909 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 902 Y 1963 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 836 Y 1963 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 880 Y 2026 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 902 Y 2204 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 880 Y 2253 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 902 Y 2314 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 836 Y 2314 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 880 Y 2377 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 902 Y 2481 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 720 X 1100 Y 1380 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 1122 Y 1590 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1100 Y 1639 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1122 Y 1707 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 1100 Y 1756 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 1122 Y 1963 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1056 Y 1963 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1100 Y 2017 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1122 Y 2085 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 1100 Y 2134 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1122 Y 2238 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1100 Y 2287 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1122 Y 2501 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1056 Y 2501 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1100 Y 2555 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1122 Y 2623 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 1100 Y 2672 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 1122 Y 2769 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1100 Y 2818 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(.)s 720 X 1320 Y 0.0 11 11 f.R ft(We)s 899 X(could)s 1171 X(then)s 1388 X(explicitly)s 1832 X(form)s 2073 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 1342 Y 2153 X 0.0 8 8 f.R ft(3)s 1320 Y 2230 X 0.0 11 11 f.R ft(as)s 2349 X(a)s 2425 X(symmetric)s 2917 X(rank)s 3139 X(four)s 3349 X(update)s 3669 X(as)s 3788 X(follows:)s 720 X 1540 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 1562 Y 1350 X 0.0 8 8 f.R ft(3)s 1540 Y 1399 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 1562 Y 1609 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 1540 Y 1658 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1562 Y 1843 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 1540 Y 1892 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 1562 Y 1946 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 1496 Y 1946 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1540 Y 2009 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 1562 Y 2187 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 1540 Y 2236 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1562 Y 2297 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 1496 Y 2297 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 720 X 1760 Y 1408 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 1782 Y 1618 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1760 Y 1667 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1782 Y 1852 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1760 Y 1901 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 1782 Y 1955 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1716 Y 1955 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1760 Y 2018 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 1782 Y 2196 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1760 Y 2245 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1782 Y 2306 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1716 Y 2306 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1760 Y 2369 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1782 Y 2554 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 1760 Y 2603 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 1782 Y 2657 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 1716 Y 2657 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1760 Y 2720 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 1782 Y 2898 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 1760 Y 2947 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1782 Y 3008 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 1716 Y 3008 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1760 Y 3071 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(.)s 720 X 1980 Y 0.0 11 11 f.R ft(We)s 899 X(could)s 1171 X(have)s 1405 X(continued)s 1866 X(the)s 2028 X(process)s 2384 X(and)s 2570 X(in)s 2684 X(general)s 3033 X(found)s 3317 X(for)s 3472 X(a)s 3548 X(rank)s 3770 X(2)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 3908 X 0.0 11 11 f.R ft(update:)s 720 X 2200 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 2222 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1390 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 2200 Y 1483 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 2222 Y 1693 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 2200 Y 1742 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(UV)s 2156 Y 2018 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 2200 Y 2072 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(VU)s 2156 Y 2348 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 2200 Y 2402 X 0.0 11 11 f.R ft( ,)s 720 X 2420 Y(where)s 720 X 2640 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 1358 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 2662 Y 1592 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 2640 Y 1641 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 1678 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 2662 Y 1774 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 2640 Y 1823 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 1860 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(...)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2009 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 2662 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2640 Y 2141 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 720 X 2860 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 1346 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 2882 Y 1573 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 2860 Y 1622 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 1659 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 2882 Y 1748 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 2860 Y 1797 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 1834 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(...)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 1983 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 2882 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2860 Y 2108 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 720 X 3080 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 3102 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 3080 Y 1367 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(y)s 3102 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 3080 Y 1594 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s /C12 { (1) (2) Cfract } bind def /Cfract{ /fbot exch def /ftop exch def currentfont currentpoint /f0 ysiz pt 2 div def (0) stringwidth pop 2 div 0 rmoveto (\244)show currentpoint 4 2 roll moveto 0 f0 0.75 mul rmoveto fonttype [ xsiz pt 2 div 0 0 f0 0 0 ]makefont setfont ftop show moveto fbot show setfont }bind def C12(\()s 0.0 11 11 f.I ft(y)s 3102 Y 1875 X 0.0 8 8 f.I ft(p)s 3036 Y 1875 X(T)s 3080 Y 1929 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3102 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 3080 Y 2033 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3102 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 720 X 3300 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 3322 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1371 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3300 Y 1464 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 3322 Y 1710 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3300 Y 1759 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(UV)s 3256 Y 2035 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 3300 Y 2089 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(VU)s 3256 Y 2365 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 3300 Y 2419 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3322 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2563 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 720 X 3572 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(a)s 3594 Y 1331 X 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1384 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3528 Y 1331 X(\()s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1410 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 1562 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 3572 Y 1606 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(a)s 3594 Y 1797 X 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1850 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3528 Y 1797 X(\()s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1876 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 2028 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 3572 Y 2072 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 3684 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2224 X(=)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3605 Y 2206 X 0.0 16 16 f.S ft(S)s 3468 Y 2233 X 0.0 8 8 f.I ft(p)s 3572 Y 2317 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 3594 Y 2407 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3528 Y 2407 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2486 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 3572 Y 2605 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3594 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3572 Y 2691 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3594 Y 2869 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3528 Y 2869 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2948 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 3572 Y 3067 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 3594 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3572 Y 3146 X 0.0 11 11 f.R ft(\) )s 0.0 11 11 f.I ft(.)s 720 X 3883 Y 0.0 11 11 f.R ft(Thus,)s 996 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 3905 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1116 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3883 Y 1237 X 0.0 11 11 f.R ft(can)s 1416 X(be)s 1547 X(formed)s 1891 X(by)s 2029 X(a)s 2105 X(rank)s 2327 X(2)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 2465 X 0.0 11 11 f.R ft(symmetric)s 2957 X(update)s 3277 X(that)s 3470 X(is)s 3572 X(rich)s 3770 X(in)s 3884 X(matrix-matrix)s 4522 X(operations.)s 720 X 4203 Y 0.0 11 11 f.I ft(Algorithm)s 1195 X(1)s 720 X 4363 Y 995 X(U)s 1102 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 1288 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 1383 X 0.0 11 11 f.R ft(are)s 1543 X(temporary)s 2021 X 0.0 11 11 f.I ft(n)s 2085 X 0.0 11 11 f.S ft(\264)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 2229 X 0.0 11 11 f.R ft(arrays,)s 2551 X(which)s 2847 X(are)s 3007 X(reused)s 3320 X(for)s 3475 X(each)s 3702 X(iteration)s 4096 X(of)s 4215 X(the)s 4377 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 4453 X 0.0 11 11 f.R ft(loop)s 720 X 4523 Y 995 X 0.0 11 11 f.I ft(n)s 1078 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 1180 X(the)s 1342 X(order)s 1600 X(of)s 1719 X(the)s 1881 X(matrix)s 720 X 4683 Y 995 X 0.0 11 11 f.I ft(p)s 1078 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 1180 X(the)s 1342 X(blocking)s 720 X 4843 Y 995 X 0.0 11 11 f.I ft(N)s 1078 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(n)s 1317 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft(2\))s 0.0 11 11 f.I ft(/p)s 720 X 5003 Y 995 X 0.0 11 11 f.R ft(for)s 1150 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 1207 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( 1,)s 1429 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(N)s 720 X 5163 Y 1270 X(s)s 1322 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(k)s 1554 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft(1\))s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 1770 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft( 1)s 720 X 5323 Y 1270 X(for)s 1434 X 0.0 11 11 f.I ft(j)s 1474 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(s)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 1693 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(s)s 1782 X 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 1916 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft(1)s 720 X 5535 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(a)s 5557 Y 1606 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5535 Y 1637 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(a)s 5557 Y 1828 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5535 Y 1859 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 5647 Y 1978 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2013 X(=s)s 5568 Y 1991 X 0.0 16 16 f.S ft(S)s 5431 Y 1981 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2016 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5535 Y 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 5557 Y 2190 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 5491 Y 2190 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2222 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2257 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 5535 Y 2376 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 5557 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 5535 Y 2462 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 5557 Y 2640 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 5491 Y 2640 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2672 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2707 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 5535 Y 2826 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 5557 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 5535 Y 2905 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 720 X 5786 Y 1545 X 0.0 11 11 f.S ft(a)s 5808 Y 1620 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5786 Y 1651 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(sign)s 2044 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(a)s 5808 Y 2147 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5742 Y 2141 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2173 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2208 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 5786 Y 2327 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 2381 X(|)s 2439 X(|)s 2479 X 0.0 11 11 f.I ft(a)s 5808 Y 2546 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5742 Y 2540 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2572 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2607 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 2759 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 5786 Y 2812 X 0.0 11 11 f.R ft(|)s 2870 X(|)s 5808 Y 2910 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 720 X 5946 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 5968 Y 1612 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5902 Y 1606 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 1638 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1673 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 5946 Y 1792 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(sqrt)s 2112 X 0.0 11 11 f.R ft(\(1 )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(a)s 5968 Y 2387 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5902 Y 2381 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2413 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2448 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 5946 Y 2567 X 0.0 11 11 f.I ft(/)s 0.0 11 11 f.S ft(a)s 5968 Y 2673 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5946 Y 2732 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 720 X 6106 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6128 Y 1612 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6062 Y 1606 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 1638 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1673 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(2:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 1825 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 6106 Y 1860 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(a)s 6128 Y 2118 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6062 Y 2112 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2144 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2179 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(2:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 2331 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 6106 Y 2366 X 0.0 11 11 f.I ft(/)s 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.S ft(a)s 6128 Y 2508 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6106 Y 2539 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6128 Y 2606 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6062 Y 2600 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2632 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2667 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 6106 Y 2786 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 720 X 6266 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 6288 Y 1599 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6266 Y 1630 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 6288 Y 0.0 8 8 f.I ft(s)s 6266 Y 1903 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(U)s 6288 Y 2105 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2140 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6266 Y 2233 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 6288 Y 2306 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2341 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6222 Y 2434 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 6266 Y 2488 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(V)s 6288 Y 2678 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2713 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6266 Y 2806 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 6288 Y 2891 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2926 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6222 Y 3019 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 6266 Y 3073 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6288 Y 3170 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 720 X 6426 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 6448 Y 1599 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6426 Y 1630 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(y)s 6448 Y 1814 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6426 Y 1845 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s C12(\()s 0.0 11 11 f.I ft(y)s 6448 Y 2132 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6382 Y 2126 X(T)s 6426 Y 2180 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6448 Y 2241 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6426 Y 2272 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6448 Y 2369 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 720 X 6608 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 6630 Y 1630 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6608 Y 1661 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 6553 Y 1809 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 6663 Y 1809 X(D)s 6608 Y 0.0 11 11 f.I ft(U)s 6630 Y 1949 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1984 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6608 Y 2077 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2114 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6630 Y 2203 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6553 Y 2234 X 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 6663 Y 2234 X(G)s 720 X 6834 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 6856 Y 1618 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6834 Y 1649 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 6779 Y 1797 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 6889 Y 1797 X(D)s 6834 Y 0.0 11 11 f.I ft(V)s 6856 Y 1925 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1960 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6834 Y 2053 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2090 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 6856 Y 2172 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6779 Y 2203 X 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 6889 Y 2203 X(G)s 720 X 7038 Y 1270 X 0.0 11 11 f.R ft(end)s 720 X 7198 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 1358 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(U)s 7220 Y 0.0 8 8 f.I ft(s)s 1611 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1708 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 7198 Y 1801 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 1838 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(V)s 1970 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(V)s 7220 Y 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2211 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 720 X 7358 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(perform)s 1633 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(symmetric)s 2120 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(rank)s 2358 X 0.0 11 11 f.R ft( 2)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 2505 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(update)s 2841 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(on)s 2988 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(submatrix)s 7920 Y page /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 520 Y 2968 X /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 11 11 f.R ft(- 5 -)s 720 X 902 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 858 Y 1350 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 1420 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1517 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 1605 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 1649 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1746 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 1814 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 902 Y 1849 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 847 Y 1997 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 957 Y 1997 X(D)s 902 Y 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 2156 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(UV)s 858 Y 2432 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 902 Y 2486 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(VU)s 858 Y 2762 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 902 Y 2816 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 847 Y 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 957 Y 2844 X(G)s 812 Y 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2969 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 3066 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 3154 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3198 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 3295 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 3363 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 720 X 1106 Y 995 X 0.0 11 11 f.R ft(end)s 720 X 1426 Y(Note)s 966 X(that)s 1164 X(for)s 1324 X(the)s 1491 X(following)s 1952 X(algorithms)s 2456 X(we)s 2616 X(assume)s 2972 X(that)s 3171 X(if)s 3272 X(in)s 3392 X(the)s 3560 X(construction)s 4137 X(of)s 4262 X(the)s 4430 X(Householder)s 5024 X(transfor-)s 720 X 1586 Y(mation,)s 1096 X(which)s 1406 X(takes)s 1672 X 0.0 11 11 f.I ft(x)s 1761 X 0.0 11 11 f.R ft(to)s 1888 X(\()s 0.0 11 11 f.S ft(a)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2030 X( 0,)s 2150 X( )s 1553 Y( . . . )s 1586 Y(,)s 2411 X( 0\))s 1542 Y 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1586 Y 2584 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2653 X(if)s 2761 X(the)s 1666 Y 2936 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2971 X(=)s 0.0 8 8 f.R ft(2,)s 3091 X(...,)s 3177 X 0.0 8 8 f.I ft(n)s 1586 Y 2982 X 0.0 11 11 f.R ft(max)s 3235 X(|)s 3275 X 0.0 11 11 f.I ft(x)s 1608 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 1586 Y 3372 X 0.0 11 11 f.R ft(|)s 3412 X( )s 0.0 11 11 f.S ft(\243)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(e)s 3595 X 0.0 11 11 f.R ft(|)s 3635 X 0.0 11 11 f.I ft(x)s 1608 Y 3696 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1586 Y 3763 X 0.0 11 11 f.R ft(|)s 3803 X(,)s 3872 X(where)s 4179 X 0.0 11 11 f.S ft(e)s 4268 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 4383 X(the)s 4558 X(machine)s 4970 X(precision,)s 720 X 1804 Y(then)s 937 X(the)s 1099 X(transformation)s 1773 X(is)s 1875 X(skipped.)s 720 X 2024 Y 970 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 1087 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 1199 X(a)s 1286 X(lower)s 1574 X(trapezoidal)s 2099 X(matrix)s 2425 X(with)s 2660 X(the)s 2833 X(\256rst)s 3044 X(column)s 3413 X(having)s 3751 X(its)s 3895 X(\256rst)s 4106 X(non-zero)s 4533 X(element)s 4919 X(in)s 5044 X(position)s 720 X 2184 Y 0.0 11 11 f.I ft(s)s 772 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft( 1)s 975 X(and)s 1164 X(the)s 1329 X 0.0 11 11 f.I ft(p)s 0.0 11 11 f.R ft(-th)s 1537 X(column)s 1898 X(having)s 2228 X(its)s 2364 X(\256rst)s 2567 X(non-zero)s 2986 X(element)s 3364 X(in)s 3481 X(position)s 3868 X 0.0 11 11 f.I ft(s)s 3920 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 0.0 11 11 f.R ft(.)s 4179 X(Notice)s 4501 X(that)s 4696 X(to)s 4812 X(aggregate)s 5266 X(the)s 720 X 2344 Y(Householder)s 1308 X(transformations)s 2025 X(during)s 2340 X(the)s 2503 X(construction)s 3075 X(of)s 3195 X(the)s 3358 X(vector)s 3660 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 2366 Y 3714 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2344 Y 3774 X 0.0 11 11 f.R ft(we)s 3930 X(perform)s 4311 X(a)s 4388 X(matrix-vector)s 5013 X(multipli-)s 720 X 2504 Y(cation)s 1016 X(with)s 1240 X(the)s 1402 X(submatrix)s 1870 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 2526 Y 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2504 Y 2005 X 0.0 11 11 f.R ft(in)s 2119 X(the)s 2290 X 0.0 11 11 f.I ft(j)s 2349 X 0.0 11 11 f.R ft(loop.)s 720 X 2724 Y 970 X(Algorithm)s 1474 X(1)s 1575 X(constructs)s 2066 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 2160 X 0.0 11 11 f.R ft(block)s 2450 X(transformations)s 3185 X(and)s 3389 X(applies)s 3746 X(it)s 3854 X(to)s 3986 X(the)s 4166 X(matrix.)s 4527 X(We)s 4724 X(will)s 4942 X(call)s 5146 X(this)s 5352 X(a)s 720 X 2884 Y 0.0 11 11 f.I ft(``right-looking)s 1423 X(algorithm.'')s 2036 X 0.0 11 11 f.R ft(Notice)s 2378 X(that)s 2593 X(at)s 2722 X(each)s 2971 X(of)s 3112 X(the)s 3296 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 3394 X 0.0 11 11 f.R ft(stages)s 3712 X(we)s 3889 X(are)s 4070 X(updating)s 4504 X(a)s 4601 X(submatrix)s 5090 X(of)s 5230 X(size)s 720 X 3044 Y 0.0 11 11 f.I ft(n)s 784 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(s)s 897 X 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft(1 )s 0.0 11 11 f.S ft(\264)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(n)s 1203 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(s)s 1325 X 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft(1.)s 1525 X(We)s 1704 X(can)s 1883 X(further)s 2208 X(reduce)s 2526 X(the)s 2688 X(amount)s 3046 X(of)s 3165 X(data)s 3375 X(referenced)s 3861 X(by)s 3999 X(the)s 4161 X(following)s 4617 X(algorithm.)s 720 X 3364 Y 0.0 11 11 f.I ft(Algorithm)s 1195 X(2)s 720 X 3524 Y 995 X 0.0 11 11 f.R ft(for)s 1150 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 1235 X(=)s 1337 X 0.0 11 11 f.R ft(1,)s 1457 X 0.0 11 11 f.I ft(N)s 720 X 3684 Y 1270 X(s)s 1350 X(=)s 1452 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(k)s 1554 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft(1\))s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 1798 X 0.0 11 11 f.S ft(+)s 1887 X 0.0 11 11 f.R ft(1)s 720 X 3844 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(Apply)s 1554 X(the)s 1716 X(previous)s 2122 X(k)s 2188 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft(1)s 2332 X 0.0 11 11 f.I ft(block)s 2597 X(transformations)s 3330 X(to)s 3444 X(A)s 3800 Y 3524 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3594 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 3682 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3726 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3792 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 3889 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 720 X 4004 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(Compute)s 1695 X(U)s 4026 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 4004 Y 1846 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 2032 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 4026 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 720 X 4164 Y 995 X 0.0 11 11 f.R ft(end)s 720 X 4384 Y 970 X(At)s 1108 X(each)s 1335 X(stage)s 1589 X(of)s 1709 X(this)s 1898 X(algorithm)s 2355 X(we)s 2511 X(are)s 2672 X(only)s 2897 X(modifying)s 3385 X(a)s 3462 X(\()s 0.0 11 11 f.I ft(n)s 3571 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(s)s 3693 X 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft(1\) )s 0.0 11 11 f.S ft(\264)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 4046 X 0.0 11 11 f.R ft(matrix.)s 4418 X(We)s 4598 X(will)s 4799 X(call)s 4986 X(this)s 5175 X(algo-)s 720 X 4544 Y(rithm)s 989 X(the)s 1153 X 0.0 11 11 f.I ft(``left-looking)s 1762 X(algorithm.'')s 2355 X 0.0 11 11 f.R ft(This)s 2580 X(algorithm)s 3037 X(will)s 3238 X(require)s 3576 X(an)s 3708 X(access)s 4015 X(to)s 4130 X(the)s 4293 X(submatrix)s 4762 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 4566 Y 0.0 8 8 f.I ft(s)s 4544 Y 4898 X 0.0 11 11 f.R ft(in)s 5013 X(the)s 5176 X(loop,)s 720 X 4704 Y(however)s 1124 X(it)s 1214 X(avoids)s 1529 X(an)s 1660 X(update)s 1980 X(of)s 2099 X(the)s 2261 X(matrix)s 2576 X(at)s 2683 X(the)s 2845 X(end)s 3031 X(of)s 3150 X(the)s 3312 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 3388 X 0.0 11 11 f.R ft(loop.)s 720 X 5024 Y /Times-Bold /Times-Bold-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.B /Times-Bold-8 findfont def 0.0 11 11 f.B ft(3.)s 859 X(Reduction)s 1370 X(to)s 1489 X(Hessenberg)s 2060 X(Form)s 720 X 5244 Y 970 X 0.0 11 11 f.R ft(Not)s 1163 X(surprisingly,)s 1745 X(the)s 1907 X(same)s 2160 X(approach)s 2588 X(can)s 2767 X(be)s 2898 X(used)s 3127 X(in)s 3241 X(the)s 3403 X(reduction)s 3845 X(to)s 3959 X(Hessenberg)s 4497 X(form.)s 4766 X(Here)s 5005 X(we)s 5160 X(have)s 720 X 5464 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(H)s 1358 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(P)s 5486 Y 0.0 8 8 f.I ft(n)s 1608 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(2)s 5431 Y 1701 X 0.0 11 11 f.R ft( . . . )s 5464 Y 0.0 11 11 f.I ft(P)s 5486 Y 1977 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 5464 Y 2026 X 0.0 11 11 f.I ft(P)s 5486 Y 2106 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5464 Y 2155 X 0.0 11 11 f.I ft(AP)s 5486 Y 2302 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5464 Y 2351 X 0.0 11 11 f.I ft(P)s 5486 Y 2431 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 5431 Y 2480 X 0.0 11 11 f.R ft( . . . )s 5464 Y 0.0 11 11 f.I ft(P)s 5486 Y 0.0 8 8 f.I ft(n)s 2796 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(2)s 5464 Y 2889 X 0.0 11 11 f.R ft( ,)s 720 X 5684 Y(where)s 1015 X 0.0 11 11 f.I ft(H)s 1123 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 1226 X(upper)s 1504 X(Hessenberg.)s 2071 X(The)s 2270 X(idea)s 2481 X(of)s 2601 X(using)s 2869 X(a)s 2946 X(rank)s 3169 X(2)s 3253 X(or)s 3373 X(higher)s 3682 X(update)s 4004 X(in)s 4120 X(this)s 4310 X(context)s 4663 X(was)s 4863 X(discussed)s 5314 X(in)s 720 X 5844 Y([9].)s 931 X(Here)s 1170 X(it)s 1260 X(is)s 1362 X(convenient)s 1871 X(to)s 1985 X(use)s 2159 X(slightly)s 2519 X(modi\256ed)s 2939 X(formulas)s 3357 X(to)s 3471 X(those)s 3731 X(in)s 3845 X([9])s 4000 X(given)s 4272 X(by)s 720 X 6064 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 6086 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6064 Y 1349 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 6086 Y 1552 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6020 Y 1552 X(T)s 6064 Y 1606 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6086 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6064 Y 1692 X 0.0 11 11 f.R ft( ,)s 1757 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(z)s 6086 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6064 Y 1915 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 6086 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6064 Y 2143 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6086 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 720 X 6284 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 6306 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6284 Y 1349 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(y)s 6306 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6284 Y 1558 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s /C12 { (1) (2) Cfract } bind def /Cfract{ /fbot exch def /ftop exch def currentfont currentpoint /f0 ysiz pt 2 div def (0) stringwidth pop 2 div 0 rmoveto (\244)show currentpoint 4 2 roll moveto 0 f0 0.75 mul rmoveto fonttype [ xsiz pt 2 div 0 0 f0 0 0 ]makefont setfont ftop show moveto fbot show setfont }bind def C12(\()s 0.0 11 11 f.I ft(z)s 6306 Y 1834 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6240 Y 1834 X(T)s 6284 Y 1888 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6306 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6284 Y 1974 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6306 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6284 Y 2096 X 0.0 11 11 f.R ft( ,)s 2161 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(w)s 6306 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6284 Y 2322 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(z)s 6306 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6284 Y 2526 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s C12(\()s 0.0 11 11 f.I ft(y)s 6306 Y 2807 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6240 Y 2807 X(T)s 6284 Y 2861 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6306 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6284 Y 2947 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6306 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 720 X 6504 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 6526 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 1372 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6504 Y 1465 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 6526 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6504 Y 1693 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6526 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6504 Y 1896 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 6526 Y 1950 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6460 Y 1950 X(T)s 6504 Y 2004 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(w)s 6526 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6504 Y 2226 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6526 Y 2287 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6460 Y 2287 X(T)s 6504 Y 2341 X 0.0 11 11 f.I ft(.)s 720 X 6724 Y 0.0 11 11 f.R ft(When)s 1009 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 1104 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 1206 X(symmetric,)s 1726 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 6746 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6724 Y 1805 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(z)s 6746 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6724 Y 2009 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2065 X(and)s 2251 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 6746 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6724 Y 2330 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(w)s 6746 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6724 Y 2593 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 2779 X(these)s 3032 X(equations)s 3481 X(are)s 3641 X(as)s 3760 X(in)s 3874 X(the)s 4036 X(tridiagonal)s 4541 X(case.)s 4813 X(The)s 5012 X(vector)s 5314 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6746 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 720 X 6884 Y 0.0 11 11 f.R ft(is)s 822 X(computed)s 1283 X(from)s 1524 X(the)s 1686 X(same)s 1939 X(equations)s 2388 X(as)s 2507 X(for)s 2662 X(the)s 2824 X(tridiagonal)s 3328 X(case.)s 3599 X(Here)s 3838 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 3933 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 4035 X(updated)s 4410 X(as)s 720 X 7104 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 7126 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1390 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 7104 Y 1483 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 7126 Y 1693 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 7104 Y 1742 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(UV)s 7060 Y 2018 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 7104 Y 2072 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(WU)s 7060 Y 2372 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 7104 Y 2426 X 0.0 11 11 f.R ft( ,)s 720 X 7324 Y(where)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 11 11 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 520 Y 2968 X(- 6 -)s 720 X 880 Y 1270 X /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft(U)s 1358 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 902 Y 1592 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 880 Y 1641 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 1678 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 902 Y 1746 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 880 Y 1795 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 847 Y 1832 X( . . . )s 880 Y(,)s 2065 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 902 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 880 Y 2169 X 0.0 11 11 f.R ft(\) ,)s 2270 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(V)s 2402 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 902 Y 2629 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 880 Y 2678 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2715 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 902 Y 2776 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 880 Y 2825 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 847 Y 2862 X( . . . )s 880 Y(,)s 3095 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 902 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 880 Y 3192 X 0.0 11 11 f.R ft(\) ,)s 3293 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(W)s 3449 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(w)s 902 Y 3702 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 880 Y 3751 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 3788 X 0.0 11 11 f.I ft(w)s 902 Y 3875 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 880 Y 3924 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 847 Y 3961 X( . . . )s 880 Y(,)s 4194 X 0.0 11 11 f.I ft(w)s 902 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 880 Y 4317 X 0.0 11 11 f.R ft(\) and)s 720 X 1100 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 1122 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1371 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1100 Y 1464 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 1122 Y 1703 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1056 Y 1703 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1100 Y 1766 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(VU)s 1056 Y 2042 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1100 Y 2096 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(UW)s 1056 Y 2396 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1100 Y 2450 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1122 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2594 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1100 Y 2687 X 0.0 11 11 f.R ft( ,)s 2752 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(z)s 1122 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2904 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1100 Y 2997 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 1122 Y 3243 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1100 Y 3292 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(UV)s 1056 Y 3568 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1100 Y 3622 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(WU)s 1056 Y 3922 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1100 Y 3976 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1122 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 4120 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1100 Y 4213 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(.)s 720 X 1320 Y(U)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 855 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 978 X(and)s 1164 X 0.0 11 11 f.I ft(Y)s 1254 X 0.0 11 11 f.R ft(are)s 1414 X(trapezoidal,)s 1956 X(but)s 2125 X 0.0 11 11 f.I ft(Z)s 2215 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 2401 X 0.0 11 11 f.I ft(W)s 2520 X 0.0 11 11 f.R ft(are)s 2680 X(not.)s 720 X 1640 Y /Times-Bold /Times-Bold-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.B /Times-Bold-8 findfont def 0.0 11 11 f.B ft(4.)s 859 X(Reduction)s 1370 X(to)s 1489 X(Bidiagonal)s 2028 X(Form)s 720 X 1860 Y 970 X 0.0 11 11 f.R ft(A)s 1082 X(problem)s 1482 X(that)s 1681 X(is)s 1789 X(closely)s 2134 X(associated)s 2618 X(with)s 2848 X(the)s 3016 X(eigenvalue)s 3524 X(problem)s 3924 X(is)s 4032 X(to)s 4152 X(compute)s 4564 X(the)s 4732 X(Singular)s 5139 X(Value)s 720 X 2020 Y(Decomposition)s 1430 X(\(SVD\))s 1760 X(of)s 1889 X(a)s 1975 X(real)s 2176 X 0.0 11 11 f.I ft(m)s 2264 X 0.0 11 11 f.S ft(\264)s 0.0 11 11 f.I ft(n)s 2418 X 0.0 11 11 f.R ft(matrix)s 2743 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 0.0 11 11 f.R ft(.)s 2904 X(This)s 3138 X(decomposition)s 3824 X(is)s 3936 X(directly)s 4308 X(related)s 4642 X(to)s 4765 X(the)s 4936 X(symmetric)s 720 X 2180 Y(eigenvalue)s 1231 X(problem)s 1634 X(in)s 1757 X(that)s 1959 X(the)s 2130 X(singular)s 2521 X(values)s 2838 X(of)s 2967 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 3072 X 0.0 11 11 f.R ft(are)s 3242 X(the)s 3414 X(square)s 3737 X(roots)s 3995 X(of)s 4124 X(the)s 4296 X(eigenvalues)s 4851 X(of)s 5008 X(the)s 5180 X(sym-)s 720 X 2340 Y(metric)s 1035 X(positive)s 1419 X(semide\256nite)s 1992 X(matrix)s 2314 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 2296 Y 2394 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 2340 Y 2448 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 0.0 11 11 f.R ft(.)s 2606 X(It)s 2708 X(is)s 2816 X(numerically)s 3374 X(preferable)s 3849 X(to)s 3969 X(avoid)s 4247 X(formation)s 4714 X(of)s 4839 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 2296 Y 4919 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 2340 Y 4973 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 5074 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 5266 X(the)s 720 X 2500 Y(algorithm)s 1183 X(of)s 1309 X(choice)s 1630 X(involves)s 2039 X(an)s 2178 X(initial)s 2472 X(reduction)s 2922 X(of)s 3049 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 3152 X 0.0 11 11 f.R ft(to)s 3274 X(upper)s 3559 X(bidiagonal)s 4059 X(form)s 4308 X 0.0 11 11 f.I ft(B)s 4411 X 0.0 11 11 f.R ft(through)s 4789 X(a)s 4873 X(sequence)s 5309 X(of)s 720 X 2660 Y(Householder)s 1308 X(transformations)s 2025 X(to)s 2139 X(obtain)s 720 X 2880 Y 2817 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 2893 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(UBV)s 2836 Y 3249 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 720 X 3100 Y 0.0 11 11 f.R ft(with)s 944 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 1051 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 1237 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 1332 X 0.0 11 11 f.R ft(orthogonal)s 1836 X(and)s 2022 X 0.0 11 11 f.I ft(B)s 2117 X 0.0 11 11 f.R ft(upper)s 2394 X(bidiagonal.)s 720 X 3320 Y 970 X(This)s 1204 X(initial)s 1500 X(reduction)s 1952 X(may)s 2179 X(be)s 2320 X(treated)s 2655 X(with)s 2889 X(an)s 3030 X(algorithm)s 3496 X(similar)s 3840 X(to)s 3965 X(those)s 4236 X(already)s 4596 X(presented.)s 5110 X(In)s 5240 X(this)s 720 X 3480 Y(case)s 720 X 3700 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(B)s 1346 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(P)s 3722 Y 1549 X 0.0 8 8 f.I ft(n)s 1602 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3656 Y 1549 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 3667 Y 1704 X 0.0 11 11 f.R ft( . . . )s 3700 Y 0.0 11 11 f.I ft(P)s 3722 Y 1973 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 3656 Y 1973 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 3700 Y 2027 X 0.0 11 11 f.I ft(P)s 3722 Y 2100 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3656 Y 2100 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 3700 Y 2154 X 0.0 11 11 f.I ft(AQ)s 3722 Y 2313 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3700 Y 2362 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 3722 Y 2454 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 3667 Y 2503 X 0.0 11 11 f.R ft( . . . )s 3700 Y 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 3722 Y 0.0 8 8 f.I ft(n)s 2831 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(2)s 3700 Y 2924 X 0.0 11 11 f.R ft( ,)s 720 X 3920 Y(where)s 1038 X(each)s 1289 X 0.0 11 11 f.I ft(P)s 3942 Y 1362 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3920 Y 1393 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(I)s 1568 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3942 Y 1746 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3920 Y 1777 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3942 Y 1844 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3876 Y 1838 X(T)s 3920 Y 1944 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 2071 X(an)s 2227 X 0.0 11 11 f.I ft(m)s 2315 X 0.0 11 11 f.S ft(\264)s 0.0 11 11 f.I ft(m)s 2508 X 0.0 11 11 f.R ft(Householder)s 3121 X(transformation)s 3820 X(and)s 4031 X(each)s 4283 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 3942 Y 4368 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3920 Y 4399 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(I)s 4574 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 3942 Y 4745 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3920 Y 4776 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 3942 Y 4836 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3876 Y 4830 X(T)s 3920 Y 4937 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 5064 X(an)s 5220 X 0.0 11 11 f.I ft(n)s 5284 X 0.0 11 11 f.S ft(\264)s 0.0 11 11 f.I ft(n)s 720 X 4080 Y 0.0 11 11 f.R ft(Householder)s 1343 X(transformation.)s 2080 X(Again)s 2411 X(we)s 2601 X(may)s 2853 X(achieve)s 3249 X(e)s /CFi { (f) show xsiz pt 20 div neg 0 rmoveto (\256) s } bind def CFi(cient)s 3664 X(memory)s 4092 X(utilization)s 4601 X(by)s 4773 X(aggregating)s 5352 X(a)s 720 X 4240 Y(sequence)s 1159 X(of)s 1289 X(transformations,)s 2046 X(say)s 2232 X 0.0 11 11 f.I ft(p)s 2327 X 0.0 11 11 f.R ft(of)s 2458 X(them,)s 2746 X(so)s 2884 X(that)s 3089 X(the)s 3263 X(matrix)s 3590 X(will)s 3802 X(be)s 3945 X(updated)s 4332 X(by)s 4482 X(a)s 4570 X(matrix)s 4897 X(of)s 5028 X(rank)s 5262 X(2)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 0.0 11 11 f.R ft(.)s 720 X 4400 Y(However,)s 1176 X(there)s 1422 X(are)s 1582 X(data)s 1792 X(dependencies)s 2409 X(within)s 2719 X(this)s 2907 X(reduction)s 3349 X(that)s 3542 X(require)s 3879 X(additional)s 4347 X(attention.)s 720 X 4620 Y 970 X(Let)s 1145 X(us)s 1272 X(suppose)s 1655 X(for)s 1811 X(the)s 1974 X(moment)s 2364 X(that)s 2558 X(the)s 2721 X(sequences)s 3193 X({)s 3275 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 4642 Y 3336 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 4620 Y 3396 X 0.0 11 11 f.R ft(})s 3478 X(and)s 3665 X({)s 3747 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 4642 Y 3801 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 4620 Y 3861 X 0.0 11 11 f.R ft(})s 3943 X(can)s 4123 X(be)s 4255 X(computed)s 4718 X(at)s 4827 X(will.)s 5085 X(In)s 5206 X(gen-)s 720 X 4780 Y(eral,)s 720 X 5000 Y 2172 X(\()s 0.0 11 11 f.I ft(I)s 2253 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(uu)s 4956 Y 2493 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 5000 Y 2547 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 2659 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(I)s 2740 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(vv)s 4956 Y 2966 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 5000 Y 3020 X 0.0 11 11 f.R ft(\) )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 3262 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(uw)s 4956 Y 3521 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 5000 Y 3575 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(yv)s 4956 Y 3801 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 5000 Y 3855 X 0.0 11 11 f.R ft( ,)s 720 X 5220 Y(where)s 720 X 5440 Y 2099 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 2156 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(Av)s 2410 X 0.0 11 11 f.R ft( ,)s 2503 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(z)s 2639 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 5396 Y 2849 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 5440 Y 2903 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 2967 X 0.0 11 11 f.R ft( and )s 0.0 11 11 f.I ft(w)s 3348 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(z)s 3530 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 5396 Y 3751 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 5440 Y 3805 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 3862 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 3955 X 0.0 11 11 f.R ft( ,)s 720 X 5660 Y(see)s 892 X([9])s 1052 X(for)s 1212 X(more)s 1470 X(details.)s 1846 X(Thus,)s 2127 X(a)s 2208 X(straightforward)s 2916 X(extension)s 3370 X(of)s 3494 X(the)s 3661 X(tridiagionalization)s 4500 X(scheme)s 4861 X(presented)s 5314 X(in)s 720 X 5820 Y(Section)s 1078 X(2)s 1161 X(gives)s 1421 X(the)s 1583 X(following)s 2039 X(algorithm:)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 11 11 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 520 Y 2968 X(- 7 -)s 720 X 1040 Y /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft(Algorithm)s 1195 X(3)s 720 X 1200 Y 995 X(U)s 1102 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 1288 X 0.0 11 11 f.I ft(Y)s 1378 X 0.0 11 11 f.R ft(are)s 1538 X(temporary)s 2016 X 0.0 11 11 f.I ft(m)s 2104 X 0.0 11 11 f.S ft(\264)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 2248 X 0.0 11 11 f.R ft(arrays,)s 2570 X(which)s 2866 X(are)s 3026 X(reused)s 3339 X(for)s 3494 X(each)s 3721 X(iteration)s 4115 X(of)s 4234 X(the)s 4396 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 4472 X 0.0 11 11 f.R ft(loop)s 720 X 1360 Y 995 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 1090 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 1276 X 0.0 11 11 f.I ft(W)s 1395 X 0.0 11 11 f.R ft(are)s 1555 X(temporary)s 2033 X 0.0 11 11 f.I ft(n)s 2097 X 0.0 11 11 f.S ft(\264)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 2241 X 0.0 11 11 f.R ft(arrays,)s 2563 X(which)s 2859 X(are)s 3019 X(reused)s 3332 X(for)s 3487 X(each)s 3714 X(iteration)s 4108 X(of)s 4227 X(the)s 4389 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 4465 X 0.0 11 11 f.R ft(loop)s 720 X 1520 Y 995 X 0.0 11 11 f.I ft(n)s 1078 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 1180 X(the)s 1342 X(number)s 1705 X(of)s 1824 X(columns)s 2225 X(in)s 2339 X(the)s 2501 X(matrix)s 720 X 1680 Y 995 X 0.0 11 11 f.I ft(m)s 1102 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 1204 X(the)s 1366 X(number)s 1729 X(of)s 1848 X(rows)s 2089 X(in)s 2203 X(the)s 2365 X(matrix)s 720 X 1840 Y 995 X 0.0 11 11 f.I ft(p)s 1078 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 1180 X(the)s 1342 X(blocking)s 720 X 2000 Y 995 X 0.0 11 11 f.I ft(N)s 1106 X(=)s 1208 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(n)s 1317 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft(2\))s 0.0 11 11 f.I ft(/p)s 720 X 2160 Y 995 X 0.0 11 11 f.R ft(for)s 1150 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 1235 X(=)s 1337 X 0.0 11 11 f.R ft(1,)s 1457 X 0.0 11 11 f.I ft(N)s 720 X 2320 Y 1270 X(s)s 1350 X(=)s 1452 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(k)s 1554 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft(1\))s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 1798 X 0.0 11 11 f.S ft(+)s 1887 X 0.0 11 11 f.R ft(1)s 720 X 2480 Y 1168 X(for)s 1332 X 0.0 11 11 f.I ft(j)s 1400 X(=)s 1502 X(s)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 1619 X 0.0 11 11 f.I ft(s)s 1680 X 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 1814 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft(1)s 720 X 2640 Y 1364 X(compute)s 1798 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 2662 Y 1859 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 720 X 2800 Y 1364 X 0.0 11 11 f.R ft(compute)s 1798 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 2822 Y 1852 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 720 X 3142 Y 1364 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 3164 Y 1418 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3142 Y 1477 X 0.0 11 11 f.I ft(=)s 3087 Y 1597 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 3197 Y 1597 X(D)s 3142 Y 1680 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 1784 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 1873 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 3164 Y 1958 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1993 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3142 Y 2086 X 0.0 11 11 f.I ft(W)s 3164 Y 2189 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2224 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3098 Y 2183 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 3142 Y 2354 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 2443 X 0.0 11 11 f.I ft(Y)s 3164 Y 2511 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2546 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3142 Y 2639 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 3164 Y 2718 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2753 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3098 Y 2712 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 3087 Y 2883 X 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 3197 Y 2883 X(G)s 3142 Y 2966 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 3164 Y 3020 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 720 X 3528 Y 1364 X 0.0 11 11 f.I ft(h)s 3550 Y 1425 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3528 Y 1484 X 0.0 11 11 f.I ft(=)s 3473 Y 1604 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 3583 Y 1604 X(D)s 3528 Y 1687 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 1791 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 1880 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 3550 Y 1965 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2000 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3528 Y 2093 X 0.0 11 11 f.I ft(W)s 3550 Y 2196 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2231 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3484 Y 2190 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 3528 Y 2361 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 2450 X 0.0 11 11 f.I ft(Y)s 3550 Y 2518 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2553 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3528 Y 2646 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 3550 Y 2725 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2760 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3484 Y 2719 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 3473 Y 2890 X 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 3583 Y 2890 X(G)s 3438 Y 0.0 8 8 f.I ft(T)s 3528 Y 2999 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3550 Y 3060 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 720 X 3892 Y 1364 X 0.0 11 11 f.I ft(w)s 3914 Y 1444 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3892 Y 1503 X 0.0 11 11 f.I ft(=)s 1605 X(h)s 3914 Y 1666 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3892 Y 1725 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 1814 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3914 Y 1917 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3848 Y 1911 X(T)s 3892 Y 1965 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 3914 Y 2019 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3892 Y 2050 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 3914 Y 2140 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 720 X 4234 Y 1364 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 4256 Y 1449 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 4234 Y 1508 X 0.0 11 11 f.I ft(=)s 4179 Y 1628 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 4289 Y 1628 X(D)s 4234 Y 1711 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 4256 Y 1796 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1831 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 4234 Y 1952 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2017 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 4256 Y 2078 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 4179 Y 2137 X 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 4289 Y 2137 X(G)s 720 X 4620 Y 1364 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 4642 Y 1437 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 4620 Y 1496 X 0.0 11 11 f.I ft(=)s 4565 Y 1616 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 4675 Y 1616 X(D)s 4620 Y 1699 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 4642 Y 1772 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1807 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 4620 Y 1928 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 1993 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 4642 Y 2047 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 4565 Y 2106 X 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 4675 Y 2106 X(G)s 720 X 5006 Y 1364 X 0.0 11 11 f.I ft(W)s 5028 Y 1461 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5006 Y 1520 X 0.0 11 11 f.I ft(=)s 4951 Y 1640 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 5061 Y 1640 X(D)s 5006 Y 1723 X 0.0 11 11 f.I ft(W)s 5028 Y 1820 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1855 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5006 Y 1976 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2041 X 0.0 11 11 f.I ft(w)s 5028 Y 2121 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 4951 Y 2180 X 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 5061 Y 2180 X(G)s 720 X 5392 Y 1364 X 0.0 11 11 f.I ft(Y)s 5414 Y 1432 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5392 Y 1491 X 0.0 11 11 f.I ft(=)s 5337 Y 1611 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 5447 Y 1611 X(D)s 5392 Y 1694 X 0.0 11 11 f.I ft(Y)s 5414 Y 1762 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1797 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5392 Y 1918 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 1983 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 5414 Y 2037 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5337 Y 2096 X 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 5447 Y 2096 X(G)s 720 X 5596 Y 1196 X 0.0 11 11 f.R ft(end)s 720 X 5756 Y 1196 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 1312 X(=)s 1414 X(U)s 5778 Y 0.0 8 8 f.I ft(s)s 1537 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1634 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5756 Y 1727 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 1820 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 1924 X(=)s 2026 X(V)s 5778 Y 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2137 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 720 X 5916 Y 1196 X 0.0 11 11 f.I ft(Y)s 1295 X(=)s 1397 X(Y)s 5938 Y 0.0 8 8 f.I ft(s)s 1503 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1600 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5916 Y 1693 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 1786 X 0.0 11 11 f.I ft(W)s 1914 X(=)s 2016 X(W)s 5938 Y 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2151 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 720 X 6076 Y 1196 X 0.0 11 11 f.I ft(perform)s 1615 X(rank)s 1853 X 0.0 11 11 f.R ft(2)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 2000 X(update)s 2336 X(on)s 2483 X(submatrix)s 720 X 6236 Y 1196 X(A)s 6192 Y 1276 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 1346 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1443 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 1531 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 1575 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1672 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 1740 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 6236 Y 1803 X 0.0 11 11 f.I ft(=)s 1905 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 1969 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 2073 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 2162 X 0.0 11 11 f.I ft(UW)s 6192 Y 2345 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 6236 Y 2427 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 2516 X 0.0 11 11 f.I ft(YV)s 6192 Y 2658 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 6236 Y 2740 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 6192 Y 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2846 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2943 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 3031 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3075 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 3172 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 3240 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 720 X 6396 Y 1112 X 0.0 11 11 f.R ft(end)s 720 X 6876 Y(Unfortunately,)s 1392 X(it)s 1483 X(is)s 1586 X(not)s 1756 X(so)s 1884 X(straightforward)s 2589 X(to)s 2705 X(compute)s 3113 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6898 Y 3174 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6876 Y 3235 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 3423 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 6898 Y 3477 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6876 Y 3538 X 0.0 11 11 f.R ft(at)s 3647 X(will.)s 3905 X(At)s 4045 X(step)s 4261 X 0.0 11 11 f.I ft(j)s 4322 X 0.0 11 11 f.R ft(of)s 4443 X(the)s 4607 X(usual)s 4869 X(bidiagonali-)s 720 X 7036 Y(zation)s 1044 X(process,)s 1456 X(the)s 1646 X(vector)s 1975 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 7058 Y 2036 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 7036 Y 2151 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 2281 X(nonzero)s 2689 X(in)s 2831 X(the)s 3030 X 0.0 11 11 f.I ft(j)s 3070 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(th)s 3329 X 0.0 11 11 f.R ft(entry.)s 3666 X(Hence)s 4000 X(application)s 4544 X(on)s 4710 X(the)s 4900 X(left)s 5101 X(by)s 5266 X(the)s 720 X 7196 Y(corresponding)s 1383 X(Householder)s 1979 X(transformation)s 2661 X(alters)s 2934 X(the)s 3113 X 0.0 11 11 f.I ft(j)s 3162 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(th)s 3345 X 0.0 11 11 f.R ft(row)s 3551 X(of)s 3678 X(the)s 3877 X(reduced)s 4259 X(matrix)s 4583 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 7218 Y 4656 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 7196 Y 4724 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 4919 X(knowledge)s 720 X 7356 Y(of)s 840 X(this)s 1029 X(row)s 1228 X(is)s 1359 X(required)s 1752 X(to)s 1867 X(compute)s 2274 X(the)s 2437 X(vector)s 2739 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 7378 Y 2793 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 7356 Y 2853 X 0.0 11 11 f.R ft(which)s 3150 X(is)s 3253 X(nonzero)s 3634 X(in)s 3749 X(the)s 3920 X 0.0 11 11 f.I ft(j)s 3969 X 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft(1 )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(st)s 4304 X 0.0 11 11 f.R ft(entry.)s 4613 X(The)s 4811 X(dependencies)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 11 11 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 520 Y 2968 X(- 8 -)s 720 X 880 Y(now)s 942 X(become)s 1315 X(even)s 1554 X(more)s 1812 X(complicated)s 2381 X(because)s 2759 X(it)s 2854 X(would)s 3163 X(appear)s 3487 X(that)s 3686 X(the)s 3854 X(transformation)s 4534 X(corresponding)s 5195 X(to)s 5315 X /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft(v)s 902 Y 5369 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 720 X 1040 Y 0.0 11 11 f.R ft(must)s 967 X(be)s 1102 X(applied)s 1457 X(from)s 1702 X(the)s 1868 X(right)s 2108 X(before)s 2418 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1062 Y 2479 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2514 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1040 Y 2639 X 0.0 11 11 f.R ft(can)s 2822 X(be)s 2957 X(computed)s 3422 X(and)s 3612 X(so)s 3742 X(on.)s 3940 X(However,)s 4400 X(we)s 4558 X(note)s 4778 X(that)s 4974 X(the)s 5139 X(above)s 720 X 1200 Y(algorithm)s 1179 X(will)s 1382 X(be)s 1516 X(valid)s 1767 X(if)s 1865 X(there)s 2114 X(is)s 2219 X(an)s 2353 X(independent)s 2920 X(formula)s 3299 X(for)s 3458 X(computing)s 3961 X(the)s 4127 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 1222 Y 4181 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1200 Y 4272 X 0.0 11 11 f.R ft(since)s 4529 X(the)s 4695 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1222 Y 4756 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1200 Y 4819 X 0.0 11 11 f.R ft(may)s 5040 X(be)s 5175 X(com-)s 720 X 1360 Y(puted)s 999 X(as)s 1125 X(in)s 1246 X(the)s 1415 X(previous)s 1827 X(algorithms)s 2332 X(by)s 2476 X(knowing)s 2895 X(the)s 3072 X 0.0 11 11 f.I ft(j)s 3121 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(th)s 3302 X 0.0 11 11 f.R ft(column)s 3666 X(of)s 3791 X(the)s 3959 X(reduced)s 4338 X(matrix.)s 4715 X(Indeed,)s 5074 X(there)s 5326 X(is)s 720 X 1520 Y(an)s 851 X(independent)s 1415 X(formula)s 1790 X(for)s 1945 X(computing)s 2444 X(the)s 2606 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 1542 Y 2660 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1520 Y 2719 X 0.0 11 11 f.R ft(which)s 3015 X(may)s 3232 X(be)s 3363 X(found)s 3647 X(by)s 3785 X(noting)s 4095 X(that)s 720 X 1740 Y 2588 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 1696 Y 2668 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1740 Y 2722 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 1696 Y 2802 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1740 Y 2856 X 0.0 11 11 f.I ft(AV)s 2999 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(B)s 1696 Y 3209 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1740 Y 3263 X 0.0 11 11 f.I ft(B)s 3339 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(T)s 720 X 1960 Y 0.0 11 11 f.R ft(where)s 1064 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 1140 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 1982 Y 1362 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1960 Y 1411 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 1982 Y 1503 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 1927 Y 1552 X 0.0 11 11 f.R ft( . . . )s 1960 Y 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 1982 Y 0.0 8 8 f.I ft(n)s 1880 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(2)s 1960 Y 1973 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 2051 X(is)s 2175 X(precisely)s 2620 X(the)s 2804 X(sequence)s 3254 X(of)s 3395 X(transformations)s 4134 X(that)s 4350 X(would)s 4676 X(be)s 4830 X(computed)s 5314 X(in)s 720 X 2120 Y(Algorithm)s 1220 X(1)s 1316 X(to)s 1443 X(reduce)s 1774 X(the)s 1948 X(matrix)s 2275 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 2076 Y 2355 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 2120 Y 2409 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 2516 X 0.0 11 11 f.R ft(to)s 2642 X(tridiagonal)s 3158 X(form)s 3411 X 0.0 11 11 f.I ft(T)s 3482 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(B)s 2076 Y 3692 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 2120 Y 3746 X 0.0 11 11 f.I ft(B)s 3853 X 0.0 11 11 f.R ft(.)s 3949 X(This)s 4185 X(leads)s 4450 X(to)s 4576 X(the)s 4750 X(following)s 5218 X(pro-)s 720 X 2280 Y(cedure)s 1038 X(for)s 1193 X(computing)s 1692 X(the)s 1854 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 2302 Y 1908 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 720 X 2760 Y 0.0 11 11 f.I ft(Procedure)s 1210 X(compute)s 1609 X(v)s 2782 Y 1663 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 720 X 2972 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(z)s 2994 Y 1594 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2972 Y 1625 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 2994 Y 1828 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2928 Y 1828 X(T)s 2972 Y 1882 X 0.0 11 11 f.I ft(a)s 2994 Y 1949 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2928 Y 1943 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2006 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2072 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2169 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 2972 Y 2288 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 3084 Y 2407 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2442 X(=s)s 3005 Y 2420 X 0.0 16 16 f.S ft(S)s 2868 Y 2410 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2445 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 2972 Y 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 2994 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2972 Y 2644 X 0.0 11 11 f.I ft(x)s 2994 Y 2698 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2928 Y 2698 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2730 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2765 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 2972 Y 2884 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(x)s 2994 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2972 Y 3080 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 2994 Y 3134 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2928 Y 3134 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 3166 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3201 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 2972 Y 3320 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 720 X 3223 Y 1545 X 0.0 11 11 f.S ft(z)s 3245 Y 1605 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3223 Y 1636 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(sign)s 2029 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(z)s 3245 Y 2120 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3179 Y 2114 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2146 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2181 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 3223 Y 2300 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 2354 X(|)s 2412 X(|)s 2452 X 0.0 11 11 f.I ft(z)s 3245 Y 2507 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3179 Y 2501 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2533 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2568 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 2720 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 3223 Y 2773 X 0.0 11 11 f.R ft(|)s 2831 X(|)s 3245 Y 2871 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 720 X 3383 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 3405 Y 1605 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3339 Y 1599 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 1631 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1666 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 3383 Y 1785 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(sqrt)s 2105 X 0.0 11 11 f.R ft(\(1 )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(z)s 3405 Y 2368 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3339 Y 2362 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2394 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2429 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 3383 Y 2548 X 0.0 11 11 f.I ft(/)s 0.0 11 11 f.S ft(z)s 3405 Y 2639 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3383 Y 2698 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 720 X 3543 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 3565 Y 1605 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3499 Y 1599 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 1631 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1666 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(2:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 1818 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 3543 Y 1853 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(z)s 3565 Y 2099 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3499 Y 2093 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2125 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2160 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(2:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 2312 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 3543 Y 2347 X 0.0 11 11 f.I ft(/)s 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.S ft(z)s 3565 Y 2474 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3543 Y 2505 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 3565 Y 2565 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3499 Y 2559 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2591 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2626 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 3543 Y 2745 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 720 X 3703 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(t)s 3725 Y 1582 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3703 Y 1613 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 3725 Y 1852 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3659 Y 1852 X(T)s 3703 Y 1906 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 3725 Y 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3703 Y 2013 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(V)s 3725 Y 2203 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2238 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3703 Y 2331 X 0.0 11 11 f.I ft(X)s 3725 Y 2404 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2439 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3659 Y 2532 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 3703 Y 2586 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(X)s 3725 Y 2776 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2811 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3703 Y 2904 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 3725 Y 2977 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3012 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3659 Y 3105 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 3703 Y 3159 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 3725 Y 3249 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3703 Y 3280 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 3317 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 3725 Y 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3703 Y 3452 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 3659 Y 3662 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3732 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(m)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 3838 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3882 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 3950 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 720 X 3863 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(x)s 3885 Y 1599 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3863 Y 1630 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(t)s 3885 Y 1797 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3863 Y 1828 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s /C12 { (1) (2) Cfract } bind def /Cfract{ /fbot exch def /ftop exch def currentfont currentpoint /f0 ysiz pt 2 div def (0) stringwidth pop 2 div 0 rmoveto (\244)show currentpoint 4 2 roll moveto 0 f0 0.75 mul rmoveto fonttype [ xsiz pt 2 div 0 0 f0 0 0 ]makefont setfont ftop show moveto fbot show setfont }bind def C12(\()s 0.0 11 11 f.I ft(t)s 3885 Y 2098 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3819 Y 2092 X(T)s 3863 Y 2146 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 3885 Y 2200 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3863 Y 2231 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(v)s 3885 Y 2321 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3863 Y 2436 X 0.0 11 11 f.R ft(.)s 720 X 4045 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(X)s 4067 Y 1618 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 4045 Y 1649 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 3990 Y 1797 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 4100 Y 1797 X(D)s 4045 Y 0.0 11 11 f.I ft(X)s 4067 Y 1925 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1960 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1,)s 4045 Y 2079 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(x)s 4067 Y 2161 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3990 Y 2192 X 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 4100 Y 2192 X(G)s 720 X 4569 Y 0.0 11 11 f.R ft(Computation)s 1324 X(of)s 1443 X(the)s 1605 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 4591 Y 1666 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 4569 Y 1725 X 0.0 11 11 f.R ft(only)s 1949 X(depends)s 2336 X(upon)s 2584 X(the)s 2755 X 0.0 11 11 f.I ft(j)s 2804 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(th)s 2980 X 0.0 11 11 f.R ft(column)s 3339 X(of)s 3459 X(the)s 3622 X(reduced)s 3996 X(matrix)s 4312 X(being)s 4585 X(in)s 4700 X(place)s 4959 X(before)s 5266 X(the)s 720 X 4729 Y 729 X 0.0 11 11 f.I ft(j)s 778 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(th)s 953 X 0.0 11 11 f.R ft(step.)s 1214 X(Therefore,)s 1699 X(the)s 1861 X(column)s 2219 X(oriented)s 2606 X(formula)s 2981 X(given)s 3253 X(in)s 3367 X(Algorithm)s 3854 X(1)s 3937 X(may)s 4154 X(be)s 4285 X(adapted)s 4653 X(to)s 4767 X(give)s 720 X 5209 Y 0.0 11 11 f.I ft(Procedure)s 1210 X(compute)s 1609 X(u)s 5231 Y 1670 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 720 X 5581 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(a)s 5603 Y 1606 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5581 Y 1637 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(a)s 5603 Y 1828 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5581 Y 1859 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 5693 Y 1978 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2013 X(=s)s 5614 Y 1991 X 0.0 16 16 f.S ft(S)s 5477 Y 1981 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2016 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5581 Y 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 5603 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 5581 Y 2222 X 0.0 11 11 f.I ft(w)s 5603 Y 2302 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 5537 Y 2302 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2334 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2369 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 5581 Y 2488 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(y)s 5603 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 5581 Y 2684 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 5603 Y 2738 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 5537 Y 2738 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2770 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2805 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 5581 Y 2924 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 720 X 5832 Y 1545 X 0.0 11 11 f.S ft(a)s 5854 Y 1620 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5832 Y 1651 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(sign)s 2044 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(a)s 5854 Y 2147 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5788 Y 2141 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2173 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2201 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 5832 Y 2236 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 2290 X(|)s 2348 X(|)s 2388 X 0.0 11 11 f.I ft(a)s 5854 Y 2455 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5788 Y 2449 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2481 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2516 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(m)s 2602 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 5832 Y 2655 X 0.0 11 11 f.R ft(|)s 2713 X(|)s 5854 Y 2753 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 720 X 5992 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6014 Y 1612 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5948 Y 1606 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 1638 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1666 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 5992 Y 1701 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(sqrt)s 2021 X 0.0 11 11 f.R ft(\(1 )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(a)s 6014 Y 2296 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5948 Y 2290 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2322 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2350 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 5992 Y 2385 X 0.0 11 11 f.I ft(/)s 0.0 11 11 f.S ft(a)s 6014 Y 2491 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5992 Y 2550 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 720 X 6152 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6174 Y 1612 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6108 Y 1606 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 1638 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1673 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1:)s 0.0 8 8 f.I ft(m)s 1843 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 6152 Y 1878 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(a)s 6174 Y 2136 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6108 Y 2130 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2162 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2197 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1:)s 0.0 8 8 f.I ft(m)s 2367 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 6152 Y 2402 X 0.0 11 11 f.I ft(/)s 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.S ft(a)s 6174 Y 2544 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6152 Y 2575 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6174 Y 2642 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 6108 Y 2636 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2668 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2696 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 6152 Y 2731 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 720 X 6632 Y(If)s 828 X(these)s 1089 X(two)s 1290 X(procedures)s 1805 X(are)s 1973 X(substituted)s 2487 X(for)s 2650 X("compute)s 3109 X(u")s 3245 X(and)s 3439 X("compute)s 3898 X(v")s 4035 X(in)s 4158 X(Algorithm)s 4654 X(3)s 4746 X(then)s 4972 X(it)s 5071 X(be)s 5211 X(well)s 720 X 6792 Y(de\256ned.)s 1128 X(In)s 1248 X(all)s 1387 X(of)s 1507 X(these)s 1761 X(we)s 1917 X(do)s 2055 X(not)s 2224 X(explicitly)s 2668 X(form)s 2909 X(the)s 3071 X(indicated)s 3501 X(matrix)s 3816 X(products.)s 4278 X(Instead,)s 4650 X(the)s 4812 X(matrix)s 5127 X(vector)s 720 X 6952 Y(products)s 1126 X(are)s 1286 X(accumulated.)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 11 11 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 520 Y 2968 X(- 9 -)s 720 X 880 Y /Times-Bold /Times-Bold-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.B /Times-Bold-8 findfont def 0.0 11 11 f.B ft(5.)s 859 X(Relationship)s 1482 X(to)s 1601 X(the)s 1775 X /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft(WY)s 1956 X 0.0 11 11 f.B ft(Factorization)s 720 X 1100 Y 970 X 0.0 11 11 f.R ft(The)s 1175 X(algorithm)s 1639 X(presented)s 2094 X(here)s 2317 X(for)s 2480 X(aggregating)s 3033 X(Householder)s 3629 X(transformations)s 4354 X(is)s 4464 X(closely)s 4811 X(related)s 5144 X(to)s 5266 X(the)s 720 X 1260 Y 0.0 11 11 f.I ft(WY)s 909 X 0.0 11 11 f.R ft(representation)s 1565 X(for)s 1728 X(the)s 1898 X(product)s 2269 X(of)s 2396 X(Householder)s 2992 X(matrices)s 3399 X(presented)s 3854 X(by)s 4000 X(Bischof)s 4377 X(and)s 4570 X(Van)s 4787 X(Loan[2].)s 5230 X(The)s 720 X 1420 Y(relationship)s 1276 X(is)s 1387 X(most)s 1639 X(clearly)s 1973 X(seen)s 2204 X(in)s 2327 X(the)s 2498 X(contexts)s 2901 X(of)s 3029 X(the)s 3200 X(QR)s 3391 X(factorization)s 3982 X(of)s 4111 X(a)s 4197 X(general)s 4556 X(rectangular)s 5085 X(matrix.)s 720 X 1580 Y(The)s 918 X 0.0 11 11 f.I ft(WY)s 1099 X 0.0 11 11 f.R ft(representation)s 1747 X(has)s 1921 X(the)s 2083 X(following)s 2539 X(form:)s 720 X 1900 Y 0.0 11 11 f.I ft(QR)s 894 X(Factorization)s 1522 X(\(Bischof)s 1916 X(and)s 2109 X(Van)s 2314 X(Loan\))s 720 X 2060 Y 995 X(n)s 1078 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 1180 X(the)s 1342 X(number)s 1705 X(of)s 1824 X(columns)s 2225 X(in)s 2339 X(the)s 2501 X(matrix)s 720 X 2220 Y 995 X 0.0 11 11 f.I ft(p)s 1078 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 1180 X(the)s 1342 X(blocking)s 720 X 2380 Y 995 X 0.0 11 11 f.I ft(N)s 1106 X(=)s 1208 X(n)s 1281 X(/p)s 720 X 2540 Y 995 X 0.0 11 11 f.R ft(for)s 1150 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 1235 X(=)s 1337 X 0.0 11 11 f.R ft(1,)s 1457 X 0.0 11 11 f.I ft(N)s 720 X 2700 Y 1270 X(s)s 1350 X(=)s 1452 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(k)s 1554 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft(1\))s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 1798 X 0.0 11 11 f.S ft(+)s 1887 X 0.0 11 11 f.R ft(1)s 720 X 2860 Y 1270 X(for)s 1434 X 0.0 11 11 f.I ft(j)s 1502 X(=)s 1604 X(s)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 1721 X 0.0 11 11 f.I ft(s)s 1782 X 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 1916 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft(1)s 720 X 3072 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(a)s 3094 Y 1606 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3072 Y 1665 X 0.0 11 11 f.I ft(=)s 1767 X(a)s 3094 Y 1828 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3072 Y 1887 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 3184 Y 1978 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2013 X(=s)s 3105 Y 1991 X 0.0 16 16 f.S ft(S)s 2968 Y 1981 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2016 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3072 Y 0.0 11 11 f.I ft(z)s 3094 Y 2149 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3028 Y 2149 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2181 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2209 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 3072 Y 2244 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3094 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3072 Y 2386 X 0.0 11 11 f.I ft(where)s 2691 X(z)s 3094 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3072 Y 2793 X 0.0 11 11 f.I ft(=)s 2895 X(A)s 3094 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 3072 Y 2993 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3094 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 720 X 3323 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(compute)s 1953 X(Householder)s 2557 X(vector)s 2867 X(u)s 3345 Y 2928 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 720 X 3483 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(Y)s 3505 Y 1613 X 0.0 8 8 f.I ft(k)s 3439 Y 1613 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 1683 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 1711 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 1739 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 3483 Y 1802 X 0.0 11 11 f.I ft(=)s 1904 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(Y)s 3505 Y 2008 X 0.0 8 8 f.I ft(k)s 3439 Y 2008 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2078 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 2106 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2141 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 3483 Y 2288 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 2377 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3505 Y 2438 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3483 Y 2469 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3505 Y 2536 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3439 Y 2530 X(T)s 3483 Y 2584 X 0.0 11 11 f.I ft(Y)s 3505 Y 2652 X 0.0 8 8 f.I ft(k)s 3439 Y 2652 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2722 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 2750 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2785 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 3483 Y 2904 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2969 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft(2)s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3505 Y 3146 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3483 Y 3177 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 720 X 3643 Y 1270 X(end)s 720 X 3803 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(perform)s 1661 X(rank)s 1899 X 0.0 11 11 f.R ft(2)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 2046 X(update)s 2382 X(on)s 2529 X(sub)s 2700 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(matrix)s 720 X 3963 Y 1270 X(A)s 3919 Y 1350 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 1420 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1517 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 1605 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 1649 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1746 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 1814 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 3963 Y 1877 X 0.0 11 11 f.I ft(=)s 1979 X(A)s 3919 Y 2059 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2129 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2226 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 2314 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2358 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2455 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 2523 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 3963 Y 2586 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 2675 X 0.0 11 11 f.I ft(UY)s 3919 Y 2829 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 3963 Y 2883 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 3919 Y 2963 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3033 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 3130 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 3218 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3262 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 3359 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 3427 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 720 X 4123 Y 995 X 0.0 11 11 f.R ft(end)s 720 X 4443 Y(If)s 826 X(one)s 1018 X(implements)s 1566 X(the)s 1734 X(reduction)s 2182 X(along)s 2460 X(the)s 2628 X(lines)s 2870 X(of)s 2995 X(the)s 3163 X(algorithm)s 3625 X(described)s 4078 X(in)s 4198 X(Section)s 4562 X(2,)s 4679 X(the)s 4847 X(factorization)s 720 X 4603 Y(can)s 899 X(be)s 1030 X(described)s 1477 X(as)s 1596 X(follows:)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 11 11 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 520 Y 2941 X(- 10 -)s 720 X 880 Y /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft(QR)s 894 X(Factorization)s 1522 X(\(Alternative)s 2074 X(Algorithm\))s 720 X 1040 Y 995 X(n)s 1078 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 1180 X(the)s 1342 X(order)s 1600 X(of)s 1719 X(the)s 1881 X(matrix)s 720 X 1200 Y 995 X 0.0 11 11 f.I ft(p)s 1078 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 1180 X(the)s 1342 X(blocking)s 720 X 1360 Y 995 X 0.0 11 11 f.I ft(N)s 1106 X(=)s 1208 X(n)s 1281 X(/p)s 720 X 1520 Y 995 X 0.0 11 11 f.R ft(for)s 1150 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 1235 X(=)s 1337 X 0.0 11 11 f.R ft(1,)s 1457 X 0.0 11 11 f.I ft(N)s 720 X 1680 Y 1270 X(s)s 1350 X(=)s 1452 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(k)s 1554 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft(1\))s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 1798 X 0.0 11 11 f.S ft(+)s 1887 X 0.0 11 11 f.R ft(1)s 720 X 1840 Y 1270 X(for)s 1434 X 0.0 11 11 f.I ft(j)s 1502 X(=)s 1604 X(s)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 1721 X 0.0 11 11 f.I ft(s)s 1782 X 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 1916 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft(1)s 720 X 2052 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(a)s 2074 Y 1606 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2052 Y 1665 X 0.0 11 11 f.I ft(=)s 1767 X(a)s 2074 Y 1828 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2052 Y 1887 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 2164 Y 1978 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2013 X(=s)s 2085 Y 1991 X 0.0 16 16 f.S ft(S)s 1948 Y 1981 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2016 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 2052 Y 0.0 11 11 f.I ft(v)s 2074 Y 2154 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2008 Y 2154 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 2186 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2221 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 2052 Y 2340 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 2074 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 720 X 2303 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(compute)s 1953 X(Householder)s 2557 X(vector)s 2867 X(u)s 2325 Y 2928 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 720 X 2463 Y 1545 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 2485 Y 1599 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2463 Y 1658 X 0.0 11 11 f.I ft(=)s 1760 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 2485 Y 1869 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2419 Y 1869 X(T)s 2463 Y 1951 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 2040 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 2485 Y 2113 X 0.0 8 8 f.I ft(k)s 2419 Y 2113 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2183 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 2211 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2246 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 2463 Y 2365 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 2485 Y 2450 X 0.0 8 8 f.I ft(k)s 2419 Y 2450 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2520 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 2548 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 2583 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 2713 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 2463 Y 2767 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 2485 Y 2864 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 720 X 2623 Y 1270 X 0.0 11 11 f.R ft(end)s 720 X 2783 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(perform)s 1661 X(rank)s 1899 X 0.0 11 11 f.R ft(2)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 2046 X(update)s 2382 X(on)s 2529 X(submatrix)s 720 X 2965 Y 1270 X(A)s 2921 Y 1350 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 1420 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1517 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 1605 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 1649 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1746 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 1814 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 2965 Y 1877 X 0.0 11 11 f.I ft(=)s 2910 Y 1997 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 3020 Y 1997 X(D)s 2965 Y 2080 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 2184 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 2273 X 0.0 11 11 f.I ft(UV)s 2921 Y 2432 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 2910 Y 2514 X 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 3020 Y 2514 X(G)s 2875 Y 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2639 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2736 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 2824 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2868 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2965 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 3033 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 720 X 3169 Y 995 X 0.0 11 11 f.R ft(end)s 720 X 3329 Y(The)s 920 X(two)s 1116 X(di)s /Cff { (f) show xsiz pt 20 div neg 0 rmoveto (f) s } bind def Cff(erences)s 1626 X(between)s 2021 X(the)s 2186 X(block)s 2461 X(algorithms)s 2963 X(are)s 3126 X(in)s 3243 X(the)s 3408 X(formation)s 3872 X(of)s 3994 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 3351 Y 4048 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3329 Y 4110 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 4299 X 0.0 11 11 f.I ft(Y)s 3351 Y 4367 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3329 Y 4429 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 4618 X(also)s 4826 X(in)s 4943 X(the)s 5108 X(update)s 720 X 3489 Y(of)s 854 X(the)s 1031 X(matrix)s 1361 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 0.0 11 11 f.R ft(.)s 1527 X(For)s 1723 X(the)s 1900 X(Alternate)s 2350 X(Algorithm)s 2852 X(the)s 3029 X(vector)s 3345 X 0.0 11 11 f.I ft(v)s 3511 Y 3399 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3489 Y 3473 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 3589 X(updated)s 3978 X(using)s 4259 X(the)s 4435 X(submatrix)s 4917 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 3511 Y 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3489 Y 5066 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 5266 X(the)s 720 X 3649 Y(Bischof)s 1093 X(and)s 1282 X(Van)s 1495 X(Loan)s 1751 X(Algorithm)s 2241 X(uses)s 2461 X(information)s 3012 X(from)s 3257 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 3671 Y 3318 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3649 Y 3381 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 3571 X 0.0 11 11 f.I ft(Y)s 3671 Y 3639 X 0.0 8 8 f.I ft(k)s 3605 Y 3639 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3709 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 3737 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 3772 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(1\))s 3649 Y 3891 X 0.0 11 11 f.R ft(.)s 3979 X(Thus)s 4231 X(the)s 4397 X(Bischof)s 4771 X(and)s 4961 X(Van)s 5175 X(Loan)s 720 X 3809 Y(Algorithm)s 1218 X(will)s 1429 X(have)s 1674 X(fewer)s 1960 X(accesses)s 2368 X(to)s 2493 X(the)s 2666 X(data.)s 2943 X(In)s 3072 X(the)s 3244 X(update)s 3574 X(of)s 3703 X(the)s 3875 X(matrix)s 4200 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 4305 X 0.0 11 11 f.R ft(for)s 4470 X(the)s 4642 X(Bischof)s 5022 X(and)s 5218 X(Van)s 720 X 3969 Y(Loan)s 973 X(factorization,)s 1582 X(the)s 1744 X(update)s 2064 X(is)s 2166 X(of)s 2285 X(the)s 2447 X(form)s 720 X 4189 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 4145 Y 1350 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 1420 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1517 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 1605 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 1649 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1746 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 1814 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 4189 Y 1849 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 4145 Y 2059 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2129 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2226 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 2314 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2358 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2455 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 2523 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 4189 Y 2558 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(UY)s 4145 Y 2829 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 4189 Y 2883 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 4145 Y 2963 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3033 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 3130 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 3218 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3262 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 3359 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 3427 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 4189 Y 3462 X 0.0 11 11 f.R ft( ;)s 720 X 4409 Y(and)s 906 X(for)s 1061 X(the)s 1223 X(alternative)s 1713 X(factorization,)s 2322 X(the)s 2484 X(update)s 2804 X(is)s 2906 X(of)s 3025 X(the)s 3187 X(form)s 720 X 4629 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 4585 Y 1350 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 1420 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1517 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 1605 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 1649 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1746 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 1814 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 4629 Y 1849 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 4585 Y 2059 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2129 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2226 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 2314 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2358 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2455 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 2523 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 4629 Y 2558 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(UV)s 4585 Y 2834 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 4629 Y 2888 X 0.0 11 11 f.I ft(.)s 720 X 4849 Y 0.0 11 11 f.R ft(The)s 918 X(alternative)s 1408 X(algorithm)s 1864 X(incorporates)s 2433 X(the)s 2595 X(information)s 3142 X(about)s 3414 X(the)s 3576 X(matrix)s 3891 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 3986 X 0.0 11 11 f.R ft(in)s 4100 X(the)s 4262 X(matrix)s 4577 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 0.0 11 11 f.R ft(.)s 720 X 5069 Y 970 X(We)s 1156 X(can)s 1343 X(describe)s 1743 X(the)s 1913 X(reduction)s 2363 X(to)s 2485 X(tridiagonal)s 2997 X(form)s 3246 X(for)s 3409 X(the)s 3579 X(symmetric)s 4079 X(eigenvalue)s 4589 X(problem)s 4991 X(using)s 5266 X(the)s 720 X 5229 Y(Bischof)s 1090 X(and)s 1276 X(Van)s 1486 X(Loan)s 1739 X(approach)s 2167 X(as)s 720 X 5449 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 5471 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1390 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5449 Y 1483 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 0.0 11 11 f.I ft(I)s 1694 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(USU)s 5405 Y 2037 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 5449 Y 2091 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 5471 Y 2207 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5449 Y 2256 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(I)s 2337 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(USU)s 5405 Y 2680 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 5449 Y 2734 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 0.0 11 11 f.I ft(.)s 720 X 5669 Y 0.0 11 11 f.R ft(If)s 820 X(we)s 975 X(multiply)s 1378 X(out)s 1547 X(and)s 1733 X(combine)s 2139 X(terms,)s 2439 X(we)s 2594 X(can)s 2773 X(reduce)s 3091 X(the)s 3253 X(expression)s 3750 X(to)s 720 X 5889 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 5911 Y 0.0 8 8 f.I ft(p)s 1390 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5889 Y 1483 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 5911 Y 1693 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5889 Y 1742 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(ZU)s 5845 Y 2013 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 5889 Y 2067 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(UZ)s 5845 Y 2338 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 720 X 6109 Y 0.0 11 11 f.R ft(where)s 720 X 6329 Y 1270 X 0.0 11 11 f.I ft(W)s 1370 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 6351 Y 1580 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6329 Y 1629 X 0.0 11 11 f.I ft(US)s 6285 Y 1776 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 6329 Y 1830 X 0.0 11 11 f.R ft( and )s 0.0 11 11 f.I ft(Z)s 2143 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(W)s 2373 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s /C12 { (1) (2) Cfract } bind def /Cfract{ /fbot exch def /ftop exch def currentfont currentpoint /f0 ysiz pt 2 div def (0) stringwidth pop 2 div 0 rmoveto (\244)show currentpoint 4 2 roll moveto 0 f0 0.75 mul rmoveto fonttype [ xsiz pt 2 div 0 0 f0 0 0 ]makefont setfont ftop show moveto fbot show setfont }bind def C12 0.0 11 11 f.I ft(USU)s 6285 Y 2790 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 6329 Y 2844 X 0.0 11 11 f.I ft(W)s 720 X 6549 Y 0.0 11 11 f.R ft(which)s 1016 X(is)s 1118 X(of)s 1237 X(the)s 1399 X(form)s 1640 X(described)s 2087 X(in)s 2201 X(Section)s 2559 X(2.)s 720 X 6769 Y 970 X(With)s 1226 X(the)s 1396 X 0.0 11 11 f.I ft(WY)s 1585 X 0.0 11 11 f.R ft(representation)s 2241 X(it)s 2339 X(is)s 2449 X(simple)s 2779 X(to)s 2901 X(apply)s 3181 X(the)s 3351 X(set)s 3509 X(of)s 3636 X(transformations)s 4361 X(to)s 4483 X(another)s 4847 X(matrix,)s 5198 X(as)s 5326 X(is)s 720 X 6929 Y(required)s 1113 X(in)s 1228 X(back)s 1463 X(substitution)s 2008 X(for)s 2164 X(the)s 2326 X(eigenvector)s 2864 X(computation;)s 3473 X(one)s 3659 X(simply)s 3988 X(applies)s 4327 X(\()s 0.0 11 11 f.I ft(I)s 4408 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(WY)s 6885 Y 4691 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 6929 Y 4745 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 4809 X(to)s 4923 X(the)s 5085 X(matrix.)s 720 X 7089 Y(To)s 879 X(apply)s 1160 X(the)s 1331 X(transformation)s 2014 X(using)s 2290 X(the)s 2461 X(formulation)s 3017 X(in)s 3140 X(Section)s 3507 X(2,)s 3627 X(one)s 3822 X(can)s 4010 X(use)s 4193 X(the)s 4364 X(Householder)s 4961 X(vectors)s 5314 X(to)s 720 X 7249 Y(construct)s 1153 X(the)s 1318 X(matrix)s 1636 X 0.0 11 11 f.I ft(S)s 1722 X 0.0 11 11 f.R ft(such)s 1954 X(that)s 2150 X 0.0 11 11 f.I ft(I)s 2195 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(USU)s 7205 Y 2538 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 7249 Y 2623 X 0.0 11 11 f.R ft(can)s 2805 X(be)s 2939 X(used)s 3171 X(to)s 3288 X(apply)s 3563 X(the)s 3727 X(transformations)s 4446 X(to)s 4562 X(the)s 4726 X(eigenvectors)s 5309 X(of)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 11 11 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 520 Y 2941 X(- 11 -)s 720 X 880 Y(the)s 897 X(symmetric)s 1404 X(tridiagonal)s 1923 X(matrix,)s 2281 X(back)s 2530 X(transforming)s 3140 X(them)s 3403 X(to)s 3532 X(the)s 3710 X(eigenvectors)s 4307 X(of)s 4442 X(the)s 4620 X(original)s 5006 X(problem.)s 720 X 1040 Y(The)s 918 X(matrix)s 1233 X /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft(S)s 1316 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 1418 X(a)s 1494 X 0.0 11 11 f.I ft(p)s 1577 X 0.0 11 11 f.R ft(by)s 1715 X 0.0 11 11 f.I ft(p)s 1798 X 0.0 11 11 f.R ft(upper)s 2075 X(triangular)s 2529 X(matrix)s 2844 X(whose)s 3152 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 0.0 11 11 f.R ft(-th)s 3350 X(column)s 3708 X(is)s 3810 X(formed)s 4154 X(as)s 4273 X(follows:)s 720 X 1260 Y 1270 X(\()s 0.0 11 11 f.I ft(I)s 1351 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(USU)s 1216 Y 1694 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1260 Y 1748 X 0.0 11 11 f.R ft(\)\()s 0.0 11 11 f.I ft(I)s 1865 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(uu)s 1216 Y 2105 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1260 Y 2159 X 0.0 11 11 f.R ft(\) )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(I)s 2370 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(uu)s 1216 Y 2610 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1260 Y 2664 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(USU)s 1216 Y 3007 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1260 Y 3061 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(USU)s 1216 Y 3404 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1260 Y 3458 X 0.0 11 11 f.I ft(uu)s 1216 Y 3581 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 720 X 1557 Y 2195 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(I)s 2370 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( [)s 0.0 11 11 f.I ft(U)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2648 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 2749 X 0.0 11 11 f.R ft(] )s 1447 Y 2831 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 1557 Y 2831 X(A)s 1667 Y 2831 X(D)s 1557 Y 0.0 11 11 f.R ft( )s 1626 Y 3201 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1582 Y 3269 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1503 Y 2914 X 0.0 11 11 f.I ft(SU)s 1459 Y 3061 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1503 Y 3115 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(SU)s 1459 Y 3379 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1503 Y 3433 X 0.0 11 11 f.I ft(uu)s 1459 Y 3556 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1558 Y 3610 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 1448 Y 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 1558 Y 3638 X(A)s 1668 Y 3638 X(G)s 720 X 1953 Y 2195 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(I)s 2370 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( [)s 0.0 11 11 f.I ft(U)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2648 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 2749 X 0.0 11 11 f.R ft(] )s 1843 Y 2831 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 1953 Y 2831 X(A)s 2063 Y 2831 X(D)s 1953 Y 0.0 11 11 f.R ft( )s 2008 Y(0)s 1898 Y 2914 X 0.0 11 11 f.I ft(S)s 1953 Y 0.0 11 11 f.R ft( )s 2008 Y 3156 X(1)s 1898 Y 3025 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(SU)s 1854 Y 3233 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1898 Y 3287 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1843 Y 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 1953 Y 3342 X(A)s 2063 Y 3342 X(G)s 1843 Y 3415 X(B)s 1953 Y 3415 X(A)s 2063 Y 3415 X(D)s 1953 Y 0.0 11 11 f.R ft( )s 2022 Y 3510 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 1978 Y 3578 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1899 Y 3498 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 1855 Y 3590 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 1844 Y 3644 X 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 1954 Y 3644 X(A)s 2064 Y 3644 X(G)s 720 X 2272 Y 0.0 11 11 f.R ft(So)s 865 X(the)s 1027 X(new)s 1237 X(column)s 1595 X(of)s 1714 X 0.0 11 11 f.I ft(S)s 1797 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 720 X 2459 Y 1288 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 2569 Y 1288 X(A)s 2679 Y 1288 X(D)s 2569 Y 0.0 11 11 f.R ft( )s 2624 Y 1502 X(1)s 2514 Y 1371 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(SU)s 2470 Y 1579 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 2514 Y 1633 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 2459 Y 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 2569 Y 1688 X(A)s 2679 Y 1688 X(G)s 2569 Y 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(.)s 720 X 3048 Y /Times-Bold /Times-Bold-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.B /Times-Bold-8 findfont def 0.0 11 11 f.B ft(6.)s 859 X(Pipelining)s 1367 X(Reduction)s 1878 X(to)s 1997 X(Condensed)s 2546 X(Form)s 2835 X(with)s 3071 X(Determination)s 3781 X(of)s 3900 X(Eigenvalues)s 720 X 3268 Y 970 X 0.0 11 11 f.R ft(Recently,)s 1417 X(algorithms)s 1917 X(have)s 2152 X(been)s 2387 X(developed)s 2866 X(based)s 3144 X(upon)s 3393 X(divide)s 3697 X(and)s 3884 X(conquer)s 4265 X(strategies)s 4708 X(for)s 4865 X(the)s 5029 X(determi-)s 720 X 3428 Y(nation)s 1037 X(of)s 1170 X(eigenvalues)s 1729 X(and)s 1929 X(singular)s 2325 X(values)s 2647 X(for)s 2816 X(a)s 2905 X(matrix)s 3233 X(in)s 3360 X(condensed)s 3863 X(form[)s 4153 X(11,)s 4309 X(13].)s 4552 X(These)s 4854 X(methods)s 5268 X(are)s 720 X 3588 Y(also)s 931 X(rich)s 1135 X(in)s 1255 X(matrix-matrix)s 1899 X(operations)s 2390 X(and)s 2582 X(mesh)s 2848 X(very)s 3077 X(well)s 3301 X(with)s 3532 X(the)s 3701 X(block)s 3980 X(reductions)s 4472 X(presented)s 4926 X(here.)s 5204 X(This)s 720 X 3748 Y(is)s 834 X(accomplished)s 1477 X(through)s 1859 X(pipelining)s 2346 X(the)s 2520 X(initial)s 2818 X(reduction)s 3271 X(phase)s 3559 X(with)s 3794 X(the)s 3967 X(computation)s 4556 X(of)s 4686 X(eigenvalues)s 5242 X(and)s 720 X 3908 Y(back-transformation)s 1645 X(of)s 1773 X(eigenvectors.)s 2419 X(These)s 2717 X(considerations)s 3388 X(are)s 3557 X(of)s 3685 X(little)s 3925 X(consequence)s 4520 X(on)s 4668 X(serial)s 4943 X(computers)s 720 X 4068 Y(but)s 889 X(have)s 1123 X(signi\256cant)s 1610 X(performance)s 2189 X(advantages)s 2703 X(on)s 2841 X(parallel-vector)s 3506 X(processors.)s 720 X 4288 Y 970 X(We)s 1150 X(use)s 1325 X(the)s 1488 X(block)s 1761 X(reduction)s 2204 X(algorithm)s 2661 X(as)s 2781 X(described)s 3229 X(above)s 3519 X(to)s 3634 X(introduce)s 4077 X(zeros)s 4336 X(in)s 4451 X(a)s 4528 X(block)s 4801 X(of)s 4921 X(the)s 5085 X(matrix,)s 720 X 4448 Y(say)s 898 X(we)s 1057 X(are)s 1221 X(at)s 1332 X(the)s 1498 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 0.0 11 11 f.R ft(-th)s 1700 X(stage)s 1957 X(and)s 2147 X(have)s 2385 X(just)s 2577 X(introduced)s 3078 X(zeros)s 3340 X(into)s 3543 X(the)s 3708 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 0.0 11 11 f.R ft(-th)s 3909 X(block.)s 4240 X(As)s 4393 X(we)s 4551 X(start)s 4771 X(the)s 4936 X(next)s 5156 X(block)s 720 X 4608 Y(reduction,)s 1194 X(on)s 1336 X(the)s 1502 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 1568 X 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft(1-st)s 1826 X(block,)s 2130 X(we)s 2289 X(can)s 2472 X(start)s 2694 X(in)s 2813 X(parallel)s 3174 X(the)s 3341 X(eigenvalue)s 3848 X(computation)s 4431 X(on)s 4574 X(that)s 4772 X(part)s 4975 X(of)s 5099 X(the)s 5266 X(tri-)s 720 X 4768 Y(diagonal)s 1133 X(matrix)s 1455 X(generated)s 1914 X(from)s 2162 X(the)s 2331 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 0.0 11 11 f.R ft(-th)s 2536 X(block)s 2815 X(reduction)s 3264 X(of)s 3390 X(the)s 3559 X(matrix.)s 3937 X(When)s 4233 X(we)s 4395 X(have)s 4636 X(completed)s 5127 X(eigen-)s 720 X 4928 Y(value)s 996 X(computations)s 1629 X(from)s 1882 X(two)s 2087 X(tridiagonal)s 2603 X(segments,)s 3080 X(we)s 3247 X(can)s 3438 X(use)s 3624 X(the)s 3798 X(technique)s 4264 X(applied)s 4627 X(in)s 4753 X(the)s 4927 X(divide)s 5242 X(and)s 720 X 5088 Y(conquer)s 1101 X(algorithm)s 1558 X(as)s 1678 X(described)s 2126 X(by)s 2265 X(Dongarra)s 2705 X(and)s 2891 X(Sorensen[11])s 3503 X(to)s 3617 X(determine)s 4083 X(the)s 4245 X(eigenvalues)s 4790 X(and)s 4976 X(eigenvec-)s 720 X 5248 Y(tors)s 923 X(of)s 1052 X(a)s 1138 X(pair)s 1346 X(of)s 1475 X(tridiagonal)s 1989 X(matrices.)s 2454 X(Then)s 2717 X(the)s 2889 X(eigenvalues)s 3445 X(of)s 3575 X(successive)s 4076 X(pairs)s 4328 X(of)s 4458 X(blocks)s 4784 X(can)s 4974 X(be)s 5116 X(found,)s 720 X 5408 Y(then)s 946 X(pairs)s 1196 X(of)s 1324 X(pairs,)s 1602 X(etc.,)s 1822 X(until)s 2062 X(the)s 2233 X(full)s 2423 X(set)s 2582 X(is)s 2693 X(determined.)s 3279 X(When)s 3577 X(the)s 3748 X(reduction)s 4199 X(to)s 4322 X(condensed)s 4821 X(form)s 5071 X(and)s 5266 X(the)s 720 X 5568 Y(divide)s 1029 X(and)s 1221 X(conquer)s 1607 X(strategy)s 1988 X(are)s 2154 X(used)s 2389 X(in)s 2509 X(this)s 2703 X(pipelined)s 3146 X(fashion)s 3503 X(a)s 3585 X(highly)s 3901 X(e)s /CFi { (f) show xsiz pt 20 div neg 0 rmoveto (\256) s } bind def CFi(cient)s 4288 X(parallel)s 4650 X(algorithm)s 5112 X(can)s 5297 X(be)s 720 X 5728 Y(constructed.)s 720 X 5948 Y 970 X(This)s 1204 X(discussion)s 1701 X(is)s 1813 X(made)s 2088 X(more)s 2351 X(explicit)s 2720 X(in)s 2845 X(the)s 3018 X(following)s 3485 X(example.)s 3923 X(We)s 4113 X(consider)s 4523 X(a)s 4610 X(symmetric)s 5113 X(matrix)s 720 X 6108 Y(that)s 913 X(is)s 1015 X(to)s 1129 X(be)s 1260 X(partitioned)s 1764 X(into)s 1964 X(four)s 2174 X(block)s 2446 X(columns)s 2847 X(as)s 2966 X(shown)s 3281 X(in)s 3395 X(the)s 3557 X(\256gure)s 3841 X(below.)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 11 11 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 520 Y 2941 X(- 12 -)s 720 X 1054 Y 1753 X 200 681 l 720 X 880 Y 1784 X 216 734 l 720 X 898 Y 1748 X 216 716 l 720 X 967 Y 3512 X 13 52 l 720 X 1081 Y 3541 X 13 52 l 720 X 1194 Y 3571 X 13 52 l 720 X 949 Y 3404 X 14 50 l 720 X 1046 Y 3432 X 14 50 l 720 X 1142 Y 3459 X 14 50 l 720 X 1238 Y 3487 X 14 50 l 720 X 1335 Y 3515 X 14 50 l 720 X 1431 Y 3543 X 14 50 l 720 X 1528 Y 3570 X 14 50 l 720 X 949 Y 3301 X 15 48 l 720 X 1049 Y 3332 X 15 48 l 720 X 1149 Y 3363 X 15 48 l 720 X 1248 Y 3394 X 15 48 l 720 X 1348 Y 3425 X 15 48 l 720 X 1448 Y 3456 X 15 48 l 720 X 1548 Y 3487 X 15 48 l 720 X 916 Y 3188 X 15 48 l 720 X 1018 Y 3220 X 15 48 l 720 X 1121 Y 3252 X 15 48 l 720 X 1223 Y 3283 X 15 48 l 720 X 1325 Y 3315 X 15 48 l 720 X 1427 Y 3347 X 15 48 l 720 X 1530 Y 3379 X 15 48 l 720 X 933 Y 3090 X 15 48 l 720 X 1035 Y 3122 X 15 48 l 720 X 1137 Y 3154 X 15 48 l 720 X 1240 Y 3186 X 15 48 l 720 X 1342 Y 3218 X 15 48 l 720 X 1445 Y 3250 X 15 48 l 720 X 1548 Y 3281 X 15 48 l 720 X 916 Y 2993 X 14 49 l 720 X 1021 Y 3024 X 14 49 l 720 X 1126 Y 3054 X 14 49 l 720 X 1231 Y 3085 X 14 49 l 720 X 1336 Y 3117 X 14 49 l 720 X 1441 Y 3148 X 14 49 l 720 X 1546 Y 3179 X 14 49 l 720 X 933 Y 2900 X 14 49 l 720 X 1029 Y 2928 X 14 49 l 720 X 1126 Y 2957 X 14 49 l 720 X 1222 Y 2985 X 14 49 l 720 X 1319 Y 3014 X 14 49 l 720 X 1415 Y 3042 X 14 49 l 720 X 1512 Y 3071 X 14 49 l 720 X 1229 Y 2772 X 13 51 l 720 X 1334 Y 2800 X 13 51 l 720 X 1439 Y 2828 X 13 51 l 720 X 1544 Y 2856 X 13 51 l 720 X 949 Y 2787 X 14 50 l 720 X 1052 Y 2816 X 14 50 l 720 X 1154 Y 2846 X 14 50 l 720 X 1257 Y 2875 X 14 50 l 720 X 1359 Y 2905 X 14 50 l 720 X 1461 Y 2934 X 14 50 l 720 X 1564 Y 2963 X 14 50 l 720 X 3392 Y 925 X -15 48 l 720 X 3487 Y 896 X -15 48 l 720 X 3582 Y 866 X -15 48 l 720 X 3677 Y 838 X -15 48 l 720 X 3043 Y 920 X -14 49 l 720 X 3140 Y 892 X -14 49 l 720 X 3237 Y 863 X -14 49 l 720 X 3333 Y 835 X -14 49 l 720 X 3430 Y 806 X -14 49 l 720 X 3527 Y 778 X -14 49 l 720 X 3623 Y 749 X -14 49 l 720 X 2677 Y 930 X -15 48 l 720 X 2780 Y 899 X -15 48 l 720 X 2883 Y 867 X -15 48 l 720 X 2985 Y 835 X -15 48 l 720 X 3088 Y 803 X -15 48 l 720 X 3190 Y 771 X -15 48 l 720 X 3293 Y 740 X -15 48 l 720 X 2312 Y 920 X -14 49 l 720 X 2417 Y 889 X -14 49 l 720 X 2522 Y 859 X -14 49 l 720 X 2627 Y 830 X -14 49 l 720 X 2732 Y 799 X -14 49 l 720 X 2836 Y 769 X -14 49 l 720 X 2942 Y 739 X -14 49 l 720 X 1980 Y 920 X -14 50 l 720 X 2082 Y 891 X -14 50 l 720 X 2184 Y 861 X -14 50 l 720 X 2286 Y 832 X -14 50 l 720 X 2389 Y 803 X -14 50 l 720 X 2490 Y 774 X -14 50 l 720 X 2592 Y 744 X -14 50 l 720 X 1647 Y 925 X -15 48 l 720 X 1744 Y 895 X -15 48 l 720 X 1841 Y 865 X -15 48 l 720 X 1938 Y 835 X -15 48 l 720 X 2035 Y 805 X -15 48 l 720 X 2132 Y 775 X -15 48 l 720 X 2229 Y 745 X -15 48 l 720 X 1299 Y 915 X -13 51 l 720 X 1401 Y 887 X -13 51 l 720 X 1503 Y 859 X -13 51 l 720 X 1605 Y 832 X -13 51 l 720 X 1707 Y 804 X -13 51 l 720 X 1809 Y 776 X -13 51 l 720 X 1911 Y 749 X -13 51 l 720 X 949 Y 925 X -14 49 l 720 X 1057 Y 894 X -14 49 l 720 X 1165 Y 863 X -14 49 l 720 X 1273 Y 832 X -14 49 l 720 X 1381 Y 801 X -14 49 l 720 X 1489 Y 770 X -14 49 l 720 X 1597 Y 739 X -14 49 l 720 X 916 Y 822 X -13 51 l 720 X 1021 Y 794 X -13 51 l 720 X 1125 Y 766 X -13 51 l 720 X 1230 Y 738 X -13 51 l 720 X 1679 Y 1959 X 0.0 11 11 f.S2 ft(L)s 1758 Y(L)s 1868 Y(L)s 1978 Y(L)s 2088 Y(L)s 2198 Y(L)s 2308 Y(L)s 2418 Y(L)s 2528 Y(L)s 2638 Y(L)s 2748 Y(L)s 2858 Y(L)s 2968 Y(L)s 3078 Y(L)s 3188 Y(L)s 3298 Y(L)s 3408 Y(L)s 3518 Y(L)s 3628 Y(L)s 720 X 1614 Y 1964 X 0.0 11 11 f.R ft /Cru { 0 ysiz pt 5 div 2 copy rmoveto (_) show neg rmoveto } bind def Cru 2010 X Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru 720 X 3027 Y 2787 X Cru 2819 X Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru 720 X 2312 Y 2787 X Cru 2824 X Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru 720 X 1630 Y 2782 X Cru 2829 X Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru 720 X 981 Y 1337 X 0.0 11 11 f.S2 ft(L)s 1057 Y(L)s 1167 Y(L)s 1277 Y(L)s 1387 Y(L)s 1497 Y(L)s 1607 Y(L)s 1717 Y(L)s 1827 Y(L)s 1937 Y(L)s 2047 Y(L)s 2157 Y(L)s 2267 Y(L)s 2377 Y(L)s 2487 Y(L)s 2597 Y(L)s 2707 Y(L)s 2817 Y(L)s 2927 Y(L)s 3037 Y(L)s 3147 Y(L)s 3257 Y(L)s 3367 Y(L)s 3477 Y(L)s 3587 Y(L)s 3697 Y(L)s 720 X 999 Y 1136 X(L)s 1057 Y(L)s 1167 Y(L)s 1277 Y(L)s 1387 Y(L)s 1497 Y(L)s 1607 Y(L)s 1717 Y(L)s 1827 Y(L)s 1937 Y(L)s 2047 Y(L)s 2157 Y(L)s 2267 Y(L)s 2377 Y(L)s 2487 Y(L)s 2597 Y(L)s 2707 Y(L)s 2817 Y(L)s 2927 Y(L)s 3037 Y(L)s 3147 Y(L)s 3257 Y(L)s 3367 Y(L)s 3477 Y(L)s 3587 Y(L)s 3697 Y(L)s 720 X 963 Y 930 X(L)s 983 Y(L)s 1093 Y(L)s 1203 Y(L)s 1313 Y(L)s 1423 Y(L)s 1533 Y(L)s 1643 Y(L)s 1753 Y(L)s 1863 Y(L)s 1973 Y(L)s 2083 Y(L)s 2193 Y(L)s 2303 Y(L)s 2413 Y(L)s 2523 Y(L)s 2633 Y(L)s 2743 Y(L)s 2853 Y(L)s 2963 Y(L)s 3073 Y(L)s 3183 Y(L)s 3293 Y(L)s 3403 Y(L)s 3513 Y(L)s 3623 Y(L)s 3733 Y(L)s 720 X 898 Y 0.0 11 11 f.R ft Cru 772 X Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru 720 X 981 Y 1542 X 0.0 11 11 f.S2 ft(L)s 1023 Y(L)s 1133 Y(L)s 1243 Y(L)s 1353 Y(L)s 1463 Y(L)s 1573 Y(L)s 1683 Y(L)s 1793 Y(L)s 1903 Y(L)s 2013 Y(L)s 2123 Y(L)s 2233 Y(L)s 2343 Y(L)s 2453 Y(L)s 2563 Y(L)s 2673 Y(L)s 2783 Y(L)s 2893 Y(L)s 3003 Y(L)s 3113 Y(L)s 3223 Y(L)s 3333 Y(L)s 3443 Y(L)s 3553 Y(L)s 3663 Y(L)s 720 X 3690 Y 0.0 11 11 f.R ft Cru 772 X Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru 720 X 0 -2792 l 720 X 2777 X Cru 2829 X Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru 720 X 981 Y 3600 X 0.0 11 11 f.S2 ft(L)s 1023 Y(L)s 1133 Y(L)s 1243 Y(L)s 1353 Y(L)s 1463 Y(L)s 1573 Y(L)s 1683 Y(L)s 1793 Y(L)s 1903 Y(L)s 2013 Y(L)s 2123 Y(L)s 2233 Y(L)s 2343 Y(L)s 2453 Y(L)s 2563 Y(L)s 2673 Y(L)s 2783 Y(L)s 2893 Y(L)s 3003 Y(L)s 3113 Y(L)s 3223 Y(L)s 3333 Y(L)s 3443 Y(L)s 3553 Y(L)s 3663 Y(L)s 720 X 3690 Y 2778 X 0.0 11 11 f.R ft Cru 2830 X Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru 720 X 3663 Y 2777 X 0.0 11 11 f.S2 ft(L)s 3621 Y(L)s 3511 Y(L)s 3401 Y(L)s 3291 Y(L)s 3181 Y(L)s 3071 Y(L)s 2961 Y(L)s 2851 Y(L)s 2741 Y(L)s 2631 Y(L)s 2521 Y(L)s 2411 Y(L)s 2301 Y(L)s 2191 Y(L)s 2081 Y(L)s 1971 Y(L)s 1861 Y(L)s 1751 Y(L)s 1641 Y(L)s 1531 Y(L)s 1421 Y(L)s 1311 Y(L)s 1201 Y(L)s 1091 Y(L)s 981 Y(L)s 720 X 880 Y 1748 X 0.0 11 11 f.R ft Cru 1800 X Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru 720 X 963 Y 2571 X 0.0 11 11 f.S2 ft(L)s 1006 Y(L)s 1116 Y(L)s 1226 Y(L)s 1336 Y(L)s 1446 Y(L)s 1556 Y(L)s 1666 Y(L)s 1776 Y(L)s 1886 Y(L)s 1996 Y(L)s 2106 Y(L)s 2216 Y(L)s 2326 Y(L)s 2436 Y(L)s 2546 Y(L)s 2656 Y(L)s 2766 Y(L)s 2876 Y(L)s 2986 Y(L)s 3096 Y(L)s 3206 Y(L)s 3316 Y(L)s 3426 Y(L)s 3536 Y(L)s 3646 Y(L)s 720 X 3673 Y 1749 X 0.0 11 11 f.R ft Cru 1801 X Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru Cru 720 X 3646 Y 1748 X 0.0 11 11 f.S2 ft(L)s 3604 Y(L)s 3494 Y(L)s 3384 Y(L)s 3274 Y(L)s 3164 Y(L)s 3054 Y(L)s 2944 Y(L)s 2834 Y(L)s 2724 Y(L)s 2614 Y(L)s 2504 Y(L)s 2394 Y(L)s 2284 Y(L)s 2174 Y(L)s 2064 Y(L)s 1954 Y(L)s 1844 Y(L)s 1734 Y(L)s 1624 Y(L)s 1514 Y(L)s 1404 Y(L)s 1294 Y(L)s 1184 Y(L)s 1074 Y(L)s 964 Y(L)s 720 X 3920 Y 2375 X /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft(Figure)s 2711 X 0.0 11 11 f.R ft(1)s 2822 X(Partitioned)s 3333 X(Matrix)s 720 X 4300 Y 970 X(Let)s 1146 X(us)s 1274 X(associate)s 1699 X 0.0 11 11 f.I ft(H)s 4322 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 4300 Y 1852 X 0.0 11 11 f.R ft(with)s 2078 X(the)s 2242 X(process)s 2600 X(of)s 2721 X(reducing)s 3134 X(the)s 3298 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 3364 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(th)s 3541 X 0.0 11 11 f.R ft(block)s 3815 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 4322 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 4300 Y 3956 X 0.0 11 11 f.R ft(of)s 4077 X(the)s 4241 X(partitioned)s 4747 X(matrix)s 5064 X(to)s 5180 X(tridi-)s 720 X 4460 Y(agonal)s 1048 X(form)s 1297 X(using)s 1572 X(Householder)s 2168 X(transformations.)s 2948 X(Thus)s 3203 X 0.0 11 11 f.I ft(H)s 4482 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 4460 Y 3361 X 0.0 11 11 f.R ft(executes)s 3772 X(a)s 3855 X(block)s 4134 X(step)s 4346 X(of)s 4472 X(Algorithm)s 4966 X(1)s 5056 X(\(see)s 5266 X(the)s 720 X 4620 Y(k-loop\))s 1126 X(on)s 1291 X(the)s 1480 X(block)s 1779 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 4642 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 4620 Y 1946 X 0.0 11 11 f.R ft(In)s 2093 X(this)s 2309 X(algorithm)s 2793 X(we)s 2976 X(have)s 3238 X(the)s 3428 X(possibility)s 3945 X(of)s 4092 X(spawning)s 4569 X(parallel)s 4953 X(processes.)s 720 X 4780 Y(Processes)s 1174 X(may)s 1391 X(cooperate)s 1843 X(in)s 1957 X(applying)s 2370 X(the)s 2532 X(resulting)s 2945 X(transformation)s 3619 X(shown)s 3934 X(in)s 720 X 5000 Y 2049 X 0.0 11 11 f.I ft(A)s 4956 Y 2129 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2199 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2296 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 2384 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2428 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 2525 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 2593 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 5000 Y 2628 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(A)s 4956 Y 2838 X 0.0 8 8 f.R ft(\()s 0.0 8 8 f.I ft(s)s 2908 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 3005 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 0.0 8 8 f.R ft(,)s 3093 X 0.0 8 8 f.I ft(s)s 3137 X 0.0 8 8 f.S ft(+)s 0.0 8 8 f.I ft(p)s 3234 X 0.0 8 8 f.R ft(:)s 0.0 8 8 f.I ft(n)s 3302 X 0.0 8 8 f.R ft(\))s 5000 Y 3337 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(U)s 5022 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 5000 Y 3577 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 5022 Y 3650 X 0.0 8 8 f.I ft(k)s 4956 Y 3650 X(T)s 5000 Y 3704 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(V)s 5022 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 5000 Y 3932 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 5022 Y 4017 X 0.0 8 8 f.I ft(k)s 4956 Y 4017 X(T)s 720 X 5220 Y 0.0 11 11 f.R ft(in)s 839 X(parallel.)s 1256 X(Let)s 1435 X(us)s 1566 X(denote)s 1892 X(these)s 2151 X(parallel)s 2513 X(processes)s 2966 X(by)s 3110 X 0.0 11 11 f.I ft(M)s 5242 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 3242 X(j)s 5220 Y 3307 X 0.0 11 11 f.R ft(so)s 3439 X(that)s 3638 X(process)s 4000 X 0.0 11 11 f.I ft(M)s 5242 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 4132 X(j)s 5220 Y 4197 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 4305 X(responsible)s 4839 X(for)s 5000 X(a)s 5082 X(portion)s 720 X 5380 Y(of)s 839 X(the)s 1001 X(work)s 1254 X(in)s 1368 X(the)s 1530 X(matrix)s 1845 X(multiply)s 2248 X(in)s 2362 X(the)s 2524 X(performance)s 3103 X(of)s 3222 X(Algorithm)s 3709 X(1)s 3792 X(by)s 3930 X(process)s 4286 X 0.0 11 11 f.I ft(H)s 5402 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 5380 Y 4409 X 0.0 11 11 f.R ft(.)s 720 X 5600 Y 970 X(On)s 1137 X(completion)s 1665 X(of)s 1789 X(process)s 2150 X 0.0 11 11 f.I ft(H)s 5622 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 5600 Y 2306 X 0.0 11 11 f.R ft(the)s 2473 X(tridiagonal)s 2982 X(matrix)s 3302 X 0.0 11 11 f.I ft(T)s 5622 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 5600 Y 3441 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 3549 X(exposed)s 3942 X(and)s 4134 X(the)s 4302 X(algorithm)s 4764 X 0.0 11 11 f.I ft(TQL)s 4985 X 0.0 11 11 f.R ft(2)s 5074 X(may)s 5297 X(be)s 720 X 5760 Y(applied)s 1072 X(to)s 1187 X(compute)s 1594 X(the)s 1757 X(eigensystem)s 2329 X(of)s 2449 X 0.0 11 11 f.I ft(T)s 5782 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 5760 Y 2584 X 0.0 11 11 f.R ft(after)s 2812 X(the)s 2975 X(rank)s 3198 X(one)s 3385 X(tearing)s 3718 X(has)s 3893 X(been)s 4128 X(computed.)s 4618 X(Let)s 4793 X(us)s 4920 X(denote)s 5240 X(this)s 720 X 5920 Y(process)s 1076 X(by)s 1214 X 0.0 11 11 f.I ft(E)s 5942 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 5920 Y 1325 X 0.0 11 11 f.R ft(.)s 720 X 6140 Y 970 X(Once)s 1228 X(processes)s 1675 X 0.0 11 11 f.I ft(E)s 6162 Y 1755 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6140 Y 1832 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 2018 X 0.0 11 11 f.I ft(E)s 6162 Y 2098 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6140 Y 2175 X 0.0 11 11 f.R ft(have)s 2409 X(completed,)s 2922 X(then)s 3139 X(the)s 3301 X(eigensystem)s 3872 X(of)s 720 X 6327 Y 1450 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 6437 Y 1450 X(A)s 6547 Y 1450 X(D)s 6437 Y 0.0 11 11 f.R ft( )s 6492 Y 1567 X(0)s 6360 Y 1533 X 0.0 11 11 f.I ft(T)s 6382 Y 1608 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6437 Y 1657 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 6492 Y 0.0 11 11 f.I ft(T)s 6514 Y 1788 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6360 Y 1747 X 0.0 11 11 f.R ft(0)s 6437 Y 1837 X( )s 6327 Y 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 6437 Y 1865 X(A)s 6547 Y 1865 X(G)s 6437 Y 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 6327 Y 2068 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 6437 Y 2068 X(A)s 6547 Y 2068 X(D)s 6437 Y 0.0 11 11 f.R ft( )s 6492 Y 2194 X(0)s 6360 Y 2151 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 6382 Y 2243 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6437 Y 2292 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 6492 Y 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 6514 Y 2440 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6360 Y 2391 X 0.0 11 11 f.R ft(0)s 6437 Y 2489 X( )s 6327 Y 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 6437 Y 2517 X(A)s 6547 Y 2517 X(G)s 6327 Y 2590 X(B)s 6437 Y 2590 X(A)s 6547 Y 2590 X(D)s 6437 Y 0.0 11 11 f.R ft( )s 6327 Y 2691 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 6437 Y 2691 X(A)s 6547 Y 2691 X(D)s 6437 Y 0.0 11 11 f.R ft( )s 6492 Y 2817 X(0)s 6360 Y 2774 X 0.0 11 11 f.I ft(D)s 6382 Y 2866 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6437 Y 2915 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 6492 Y 0.0 11 11 f.I ft(D)s 6514 Y 3063 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6360 Y 3014 X 0.0 11 11 f.R ft(0)s 6437 Y 3112 X( )s 6327 Y 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 6437 Y 3140 X(A)s 6547 Y 3140 X(G)s 6437 Y 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(b)s 6327 Y 3363 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 6437 Y 3363 X(A)s 6547 Y 3363 X(D)s 6437 Y 0.0 11 11 f.R ft( )s 6492 Y 0.0 11 11 f.I ft(q)s 6514 Y 3514 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6360 Y 3446 X 0.0 11 11 f.I ft(q)s 6382 Y 3514 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6437 Y 3563 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 6327 Y 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 6437 Y 3591 X(A)s 6547 Y 3591 X(G)s 6437 Y 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(q)s 6459 Y 3743 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6393 Y 3743 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 6437 Y 3806 X 0.0 11 11 f.R ft( ,)s 3871 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(q)s 6459 Y 3960 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6393 Y 3960 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 6437 Y 4023 X 0.0 11 11 f.R ft(\) )s 6327 Y 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 6437 Y 4115 X(A)s 6547 Y 4115 X(G)s 6327 Y 4188 X(B)s 6437 Y 4188 X(A)s 6547 Y 4188 X(D)s 6437 Y 0.0 11 11 f.R ft( )s 6506 Y 4313 X(0)s 6361 Y 4271 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 6383 Y 4356 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6317 Y 4356 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 6438 Y 4410 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 6507 Y 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 6529 Y 4551 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6463 Y 4551 X 0.0 8 8 f.I ft(T)s 6362 Y 4508 X 0.0 11 11 f.R ft(0)s 6439 Y 4605 X( )s 6329 Y 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 6439 Y 4633 X(A)s 6549 Y 4633 X(G)s 6439 Y 5190 X 0.0 11 11 f.R ft(\(6.1\))s 720 X 6756 Y(may)s 943 X(be)s 1080 X(computed)s 1547 X(using)s 1820 X(the)s 1988 X(rank)s 2216 X(one)s 2408 X(updating)s 2827 X(scheme.)s 3245 X(Similarly,)s 3718 X(once)s 3959 X(processes)s 4413 X 0.0 11 11 f.I ft(E)s 6778 Y 4493 X 0.0 8 8 f.R ft(3)s 6756 Y 4577 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 4770 X 0.0 11 11 f.I ft(E)s 6778 Y 4850 X 0.0 8 8 f.R ft(4)s 6756 Y 4934 X 0.0 11 11 f.R ft(have)s 5175 X(com-)s 720 X 6916 Y(pleted,)s 1074 X(the)s 1265 X(eigensystem)s 1865 X(of)s 2013 X 0.0 11 11 f.I ft(diag)s 2218 X 0.0 11 11 f.R ft(\()s 0.0 11 11 f.I ft(T)s 6938 Y 2329 X 0.0 8 8 f.R ft(3)s 6916 Y 2378 X 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2415 X 0.0 11 11 f.I ft(T)s 6938 Y 2490 X 0.0 8 8 f.R ft(4)s 6916 Y 2539 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 2632 X(may)s 2878 X(be)s 3038 X(computed.)s 3584 X(Finally)s 3954 X(the)s 4145 X(entire)s 4451 X(eigensystem)s 5051 X(may)s 5297 X(be)s 720 X 7076 Y(obtained)s 1128 X(through)s 1500 X(rank)s 1724 X(one)s 1912 X(updating)s 2327 X(of)s 2448 X(these)s 2703 X(two)s 2898 X(eigensystems.)s 3570 X(Let)s 3746 X(us)s 3874 X(denote)s 4197 X(these)s 4453 X(processes)s 4903 X(as)s 5025 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 7098 Y 5117 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 7076 Y 5166 X 0.0 11 11 f.R ft( ,)s 5231 X( )s 0.0 11 11 f.I ft(U)s 7098 Y 5351 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 720 X 7236 Y 0.0 11 11 f.R ft(and)s 906 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 7258 Y 998 X 0.0 8 8 f.R ft(0)s 7236 Y 1075 X 0.0 11 11 f.R ft(respectively.)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 11 11 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 520 Y 2941 X(- 13 -)s 720 X 880 Y 970 X(With)s 1229 X(the)s 1402 X(proper)s 1726 X(storage)s 2082 X(arrangements)s 2711 X(these)s 2976 X(processes)s 3435 X(obey)s 3688 X(the)s 3862 X(following)s 4330 X(large)s 4588 X(grain)s 4853 X(control)s 5204 X(\257ow)s 720 X 1040 Y(graph:)s 720 X 3032 Y 2656 X 36 -9 l 720 X 3014 Y 2656 X 36 9 l 720 X 3022 Y 2324 X /Cru { 0 ysiz pt 5 div 2 copy rmoveto (_) show neg rmoveto } bind def Cru 2362 X Cru Cru Cru Cru Cru Cru 720 X 3032 Y 2105 X 36 -9 l 720 X 3014 Y 2105 X 36 9 l 720 X 3022 Y 1787 X Cru 1812 X Cru Cru Cru Cru Cru Cru 720 X 3027 Y 1567 X 36 -9 l 720 X 3008 Y 1567 X 36 9 l 720 X 3018 Y 1249 X Cru 1273 X Cru Cru Cru Cru Cru Cru 720 X 1724 Y 1899 X 23 -29 l 720 X 1710 Y 1887 X 34 -15 l 720 X 1694 Y 1922 X -336 257 l 720 X 1707 Y 2090 X -35 -12 l 720 X 1723 Y 2080 X -25 -28 l 720 X 1694 Y 2054 X 373 247 l 720 X 2121 Y 1445 X 12 -35 l 720 X 2110 Y 1429 X 28 -25 l 720 X 1458 X -259 385 l 720 X 2131 Y 1560 X -20 -31 l 720 X 2137 Y 1542 X -2 -38 l 720 X 2098 Y 1540 X 123 372 l 720 X 2127 Y 2444 X 7 -37 l 720 X 2119 Y 2427 X 23 -29 l 720 X 2451 X -187 404 l 720 X 2114 Y 2572 X -25 -28 l 720 X 2121 Y 2556 X -9 -36 l 720 X 2547 X 209 399 l 720 X 2692 Y 1157 X -9 -36 l 720 X 2692 Y 1139 X 9 -36 l 720 X 2738 Y 1147 X 0.0 11 11 f.S2 ft(L)s 2798 Y(L)s 2908 Y(L)s 720 X 2705 Y 1685 X 0.0 11 11 f.R ft -8 -36 l 720 X 2705 Y 1667 X 10 -36 l 720 X 1676 X -5 257 l 720 X 2701 Y 2246 X -9 -36 l 720 X 2701 Y 2228 X 9 -36 l 720 X 2747 Y 2237 X 0.0 11 11 f.S2 ft(L)s 2779 Y(L)s 2889 Y(L)s 720 X 2687 Y 2784 X 0.0 11 11 f.R ft -10 -36 l 720 X 2687 Y 2766 X 8 -36 l 720 X 2650 Y 2774 X 5 262 l 720 X 3155 Y 1166 X -9 -36 l 720 X 3155 Y 1148 X 9 -36 l 720 X 3202 Y 1157 X 0.0 11 11 f.S2 ft(L)s 3248 Y(L)s 3358 Y(L)s 3468 Y(L)s 720 X 3137 Y 1090 X 0.0 11 11 f.R ft 12 -36 l 720 X 3127 Y 1074 X 27 -25 l 720 X 3101 Y 1102 X -254 394 l 720 X 3127 Y 1239 X -26 -26 l 720 X 3137 Y 1223 X -11 -36 l 720 X 1212 X 246 408 l 720 X 1624 Y 1941 X(U)s 720 X 1675 Y 2000 X(0)s 720 X 2024 Y 1476 X(U)s 720 X 2084 Y 1522 X(1)s 720 X 2015 Y 2465 X(U)s 720 X 2079 Y 2520 X(2)s 720 X 2571 Y 1121 X(E)s 720 X 2626 Y 1170 X(1)s 720 X 2571 Y 1649 X(E)s 720 X 2598 Y 1708 X(2)s 720 X 2571 Y 2196 X(E)s 720 X 2617 Y 2242 X(3)s 720 X 2580 Y 2756 X(E)s 720 X 2622 Y 2797 X(4)s 720 X 3026 Y 1102 X(H)s 720 X 3086 Y 1175 X(1)s 720 X 3026 Y 1645 X(H)s 720 X 3077 Y 1712 X(2)s 720 X 3031 Y 2187 X(H)s 720 X 3086 Y 2246 X(3)s 720 X 3036 Y 2733 X(H)s 720 X 3090 Y 2797 X(4)s 720 X 3587 Y 751 X(M)s 720 X 3646 Y 806 X(11)s 720 X 3591 Y 1098 X(M)s 720 X 3637 Y 1134 X(12)s 720 X 3601 Y 1434 X(M)s 720 X 3646 Y 1485 X(13)s 720 X 1612 Y 1895 X 182 183 e 720 X 2011 Y 1416 X 182 183 e 720 X 3014 Y 1603 X 182 183 e 720 X 2567 Y 1061 X 182 183 e 720 X 1599 X 182 183 e 720 X 2572 Y 2142 X 182 183 e 720 X 2697 X 182 183 e 720 X 2007 Y 2410 X 182 183 e 720 X 3022 Y 1061 X 182 183 e 720 X 3018 Y 2142 X 182 183 e 720 X 3022 Y 2697 X 182 183 e 720 X 3583 Y 1061 X 182 183 e 720 X 182 183 e 720 X 3587 Y 1403 X 182 183 e 720 X 3840 Y 2110 X /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft(Figure)s 2446 X 0.0 11 11 f.R ft(2)s 2557 X(Large)s 2839 X(Grain)s 3116 X(Control)s 3481 X(Flow)s 3736 X(Graph)s 720 X 4480 Y(In)s 841 X(this)s 1031 X(control)s 1372 X(\257ow)s 1598 X(graph)s 1877 X(a)s 1955 X 0.0 11 11 f.I ft(node)s 2198 X 0.0 11 11 f.R ft(denotes)s 2563 X(a)s 2641 X(process.)s 3027 X(That)s 3258 X(is,)s 3390 X(for)s 3547 X(example,)s 3976 X(a)s 4054 X(subroutine)s 4548 X(name)s 4815 X(together)s 5204 X(with)s 720 X 4640 Y(the)s 896 X(pointers)s 1292 X(to)s 1420 X(the)s 1596 X(data)s 1820 X(which)s 2129 X(the)s 2304 X(subroutine)s 2809 X(is)s 2924 X(to)s 3051 X(operate)s 3413 X(upon.)s 3730 X(A)s 3850 X(process)s 4219 X 0.0 11 11 f.I ft(P)s 4327 X 0.0 11 11 f.R ft(becomes)s 4751 X(schedulable)s 5309 X(or)s 720 X 4800 Y(ready)s 995 X(to)s 1115 X(execute)s 1482 X(when)s 1753 X(there)s 2005 X(are)s 2171 X(no)s 2315 X(incoming)s 2765 X(arcs)s 2974 X(to)s 3094 X(the)s 3262 X(node)s 3509 X(representing)s 4084 X(process)s 4446 X 0.0 11 11 f.I ft(P)s 0.0 11 11 f.R ft(.)s 4603 X(This)s 4833 X(signi\256es)s 5235 X(that)s 720 X 4960 Y(all)s 860 X(of)s 981 X(the)s 1145 X(data)s 1357 X(dependencies)s 1976 X(for)s 2133 X(process)s 2490 X 0.0 11 11 f.I ft(P)s 2586 X 0.0 11 11 f.R ft(have)s 2821 X(been)s 3056 X(satis\256ed)s 3446 X(through)s 3817 X(the)s 3980 X(completion)s 4504 X(of)s 4624 X(the)s 4787 X(processes)s 5235 X(that)s 720 X 5120 Y(it)s 825 X(was)s 1038 X(dependent)s 1531 X(upon.)s 1851 X(This)s 2091 X(graph)s 2384 X(indicates)s 2818 X(that)s 3027 X(processes)s 3490 X 0.0 11 11 f.I ft(M)s 5142 Y 3594 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 3640 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5120 Y 3715 X 0.0 11 11 f.R ft(can)s 3910 X(execute)s 4287 X(immediately.)s 4937 X(Once)s 5211 X(they)s 720 X 5280 Y(have)s 954 X(completed)s 1439 X(then)s 1656 X 0.0 11 11 f.I ft(H)s 5302 Y 1748 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5280 Y 1825 X 0.0 11 11 f.R ft(may)s 2042 X(report)s 2331 X(to)s 2445 X 0.0 11 11 f.I ft(H)s 5302 Y 2537 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 5280 Y 2614 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 2800 X(this)s 2988 X(process)s 3344 X(may)s 3561 X(execute)s 3922 X(and)s 4108 X(spawn)s 4416 X(processes)s 4863 X 0.0 11 11 f.I ft(M)s 5302 Y 4967 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 5013 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 5280 Y 5044 X 0.0 11 11 f.R ft(.)s 5128 X(At)s 5266 X(the)s 720 X 5440 Y(same)s 979 X(time)s 1209 X 0.0 11 11 f.I ft(H)s 5462 Y 1301 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5440 Y 1385 X 0.0 11 11 f.R ft(reports)s 1724 X(to)s 1845 X(process)s 2208 X 0.0 11 11 f.I ft(E)s 5462 Y 2288 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5440 Y 2372 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 2565 X(it)s 2662 X(may)s 2886 X(begin)s 3165 X(execution.)s 3654 X(When)s 3950 X 0.0 11 11 f.I ft(E)s 5462 Y 4030 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5440 Y 4114 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 4307 X 0.0 11 11 f.I ft(E)s 5462 Y 4387 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 5440 Y 4471 X 0.0 11 11 f.R ft(have)s 4712 X(both)s 4943 X(completed)s 720 X 5600 Y(than)s 937 X(process)s 1293 X 0.0 11 11 f.I ft(U)s 5622 Y 1385 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 5600 Y 1462 X 0.0 11 11 f.R ft(may)s 1679 X(start)s 1896 X(and)s 2082 X(so)s 2208 X(on.)s 720 X 5820 Y 970 X(To)s 1122 X(accumulate)s 1650 X(a)s 1729 X(matrix)s 2047 X(of)s 2169 X(eigenvectors,)s 2781 X(the)s 2946 X(successive)s 3439 X(Householder)s 4030 X(transformations)s 4750 X(must)s 4996 X(be)s 5130 X(multi-)s 720 X 5980 Y(plied)s 968 X(from)s 1209 X(left)s 1383 X(to)s 1497 X(right)s 1733 X(in)s 1847 X(the)s 2009 X(order)s 2267 X(they)s 2484 X(are)s 2644 X(applied)s 720 X 6258 Y 2591 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 2679 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(=)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 6338 Y 2813 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 2848 X(=)s 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6258 Y 2835 X 0.0 11 11 f.S ft(P)s 6148 Y 2809 X 0.0 8 8 f.I ft(n)s 2862 X 0.0 8 8 f.S ft(-)s 0.0 8 8 f.R ft(2)s 6203 Y 2964 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 6313 Y 2964 X(D)s 6258 Y 3037 X 0.0 11 11 f.I ft(I)s 3082 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( 2)s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6280 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6258 Y 3340 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6280 Y 3401 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6214 Y 3401 X(T)s 6203 Y 3473 X 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 6313 Y 3473 X(G)s 6258 Y 5190 X 0.0 11 11 f.R ft(\(6.2\))s 720 X 6536 Y(and)s 915 X(we)s 1079 X(observe)s 1456 X(that)s 1658 X(when)s 1932 X(accumulated)s 2522 X(this)s 2719 X(way,)s 2966 X(successive)s 3465 X(applications)s 4033 X(of)s 4161 X 0.0 11 11 f.I ft(I)s 4206 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6558 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6536 Y 4409 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 6558 Y 4470 X 0.0 8 8 f.I ft(i)s 6492 Y 4470 X(T)s 6536 Y 4561 X 0.0 11 11 f.R ft(e)s /Cff { (f) show xsiz pt 20 div neg 0 rmoveto (f) s } bind def Cff(ect)s 4841 X(only)s 5075 X(the)s 5247 X(last)s 720 X 6696 Y 0.0 11 11 f.I ft(n)s 793 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.I ft(i)s 903 X 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft(1)s 1048 X(columns)s 1450 X(of)s 1570 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 0.0 11 11 f.R ft(.)s 1734 X(Thus,)s 2011 X(application)s 2528 X(of)s 2648 X(the)s 2811 X(Givens)s 3151 X(transformations)s 3869 X(associated)s 4348 X(with)s 4572 X 0.0 11 11 f.I ft(E)s 6718 Y 4652 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6696 Y 4729 X 0.0 11 11 f.R ft(may)s 4946 X(be)s 5077 X(applied)s 720 X 6856 Y(as)s 843 X(soon)s 1083 X(as)s 1206 X(the)s 1372 X(products)s 1782 X(of)s 1905 X(the)s 2071 X(Householder)s 2663 X(transformations)s 3384 X(associated)s 3866 X(with)s 4094 X 0.0 11 11 f.I ft(H)s 6878 Y 4186 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 6856 Y 4267 X 0.0 11 11 f.R ft(have)s 4505 X(been)s 4744 X(multiplied)s 5231 X(out.)s 720 X 7016 Y(These)s 1022 X(transformations)s 1752 X(may)s 1982 X(be)s 2126 X(applied)s 2490 X(independently)s 3152 X(of)s 3283 X(the)s 3457 X(computation)s 4047 X(of)s 4178 X 0.0 11 11 f.I ft(H)s 7038 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 7016 Y 4341 X 0.0 11 11 f.R ft(for)s 4508 X 0.0 11 11 f.I ft(k)s 4565 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(>)s 0.0 11 11 f.R ft( 1)s 4790 X(because)s 5175 X(these)s 720 X 7176 Y(matrices)s 1119 X(e)s Cff(ect)s 1389 X(columns)s 1790 X(that)s 1983 X(are)s 2143 X(independent)s 2707 X(of)s 2826 X(the)s 2988 X(columns)s 3389 X(e)s Cff(ected)s 3762 X(by)s 3900 X 0.0 11 11 f.I ft(E)s 7198 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 7176 Y 3998 X 0.0 11 11 f.R ft(.)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 11 11 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 520 Y 2941 X(- 14 -)s 720 X 880 Y 970 X(When)s 1262 X(we)s 1420 X(do)s 1562 X(not)s 1735 X(wish)s 1975 X(to)s 2093 X(\256nd)s 2297 X(eigenvectors)s 2882 X(there)s 3132 X(is)s 3238 X(no)s 3380 X(reason)s 3697 X(to)s 3815 X(store)s 4060 X(the)s 4226 X(product)s 4593 X /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 4704 X 0.0 11 11 f.R ft(of)s 4827 X(these)s 5084 X(House-)s 720 X 1040 Y(holder)s 1052 X(transformations.)s 1849 X(Nor)s 2071 X(is)s 2197 X(it)s 2311 X(necessary)s 2787 X(to)s 2925 X(accumulate)s 3475 X(the)s 3661 X(product)s 4048 X(of)s 4191 X(the)s 4377 X(successive)s 4890 X(eigenvector)s 720 X 1200 Y(transformations)s 1437 X(resulting)s 1850 X(from)s 2091 X(the)s 2253 X(updating)s 2666 X(problem.)s 3116 X(That)s 3345 X(is,)s 3475 X(we)s 3630 X(do)s 3768 X(not)s 3937 X(need)s 4171 X(to)s 4285 X(overwrite)s 4732 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 4839 X 0.0 11 11 f.R ft(with)s 720 X 1497 Y 2593 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 2681 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(\254)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 1387 Y 2943 X 0.0 11 11 f.S2 ft(B)s 1497 Y 2943 X(A)s 1607 Y 2943 X(D)s 1497 Y 0.0 11 11 f.R ft( )s 1552 Y 3069 X(0)s 1420 Y 3026 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 1442 Y 3118 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1497 Y 3167 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 1552 Y 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 1574 Y 3315 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 1420 Y 3266 X 0.0 11 11 f.R ft(0)s 1497 Y 3364 X( )s 1387 Y 0.0 11 11 f.S2 ft(E)s 1497 Y 3392 X(A)s 1607 Y 3392 X(G)s 1497 Y 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 1459 Y 3464 X 0.0 12 12 f.R ft(^)s 720 X 1821 Y 0.0 11 11 f.R ft(where)s 1020 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 1843 Y 1112 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 1821 Y 1195 X 0.0 11 11 f.R ft(and)s 1415 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 1843 Y 1507 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 1821 Y 1590 X 0.0 11 11 f.R ft(are)s 1756 X(the)s 1924 X(matrices)s 2329 X(appearing)s 2794 X(in)s 2914 X(equations)s 3369 X(\(6.1\))s 3613 X(,)s 3676 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 1783 Y 3693 X 0.0 12 12 f.R ft(^)s 1821 Y 3790 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 3899 X(the)s 4068 X(matrix)s 4390 X(of)s 4516 X(eigenvectors)s 5104 X(for)s 5266 X(the)s 720 X 1981 Y(interior)s 1078 X(matrix)s 1400 X(in)s 1520 X(\(6.1\))s 1764 X(and)s 1956 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 2069 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 2177 X(the)s 2345 X(matrix)s 2666 X(appearing)s 3131 X(in)s 3251 X(\(6.2\))s 3495 X(above.)s 3846 X(Instead,)s 4224 X(we)s 4385 X(may)s 4608 X(simply)s 4943 X(discard)s 5293 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 0.0 11 11 f.R ft(.)s 720 X 2146 Y(Then)s 980 X(the)s 1149 X(vector)s 1457 X 0.0 11 11 f.I ft(q)s 2168 Y 1525 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 2146 Y 1609 X 0.0 11 11 f.R ft(may)s 1833 X(be)s 1971 X(formed)s 2323 X(as)s 2450 X 0.0 11 11 f.I ft(T)s 2108 Y 2458 X 0.0 12 12 f.R ft(^)s 2168 Y 2525 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 2146 Y 2610 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 2720 X(transformed)s 3285 X(to)s 3407 X 0.0 11 11 f.I ft(D)s 2168 Y 3499 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 2146 Y 3584 X 0.0 11 11 f.R ft(in)s 3706 X(\(2.2\))s 3952 X(by)s 4098 X(accumulating)s 4725 X(the)s 4895 X(products)s 5309 X(of)s 720 X 2306 Y(the)s 883 X(transformations)s 1601 X(constructed)s 2135 X(in)s 2250 X(TQL2)s 2547 X(that)s 2741 X(make)s 3007 X(up)s 3146 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 2328 Y 3238 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 2306 Y 3316 X 0.0 11 11 f.R ft(against)s 3656 X(the)s 3819 X(vector)s 4120 X 0.0 11 11 f.I ft(e)s 2328 Y 0.0 8 8 f.I ft(k)s 2306 Y 4240 X 0.0 11 11 f.R ft(.)s 4324 X(If)s 4424 X(there)s 4670 X(is)s 4772 X(more)s 5025 X(than)s 5242 X(one)s 720 X 2466 Y(division)s 1106 X(then)s 1325 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 2488 Y 1417 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 2466 Y 1496 X 0.0 11 11 f.R ft(will)s 1698 X(have)s 1935 X(been)s 2172 X(calculated)s 2646 X(with)s 2873 X(the)s 3038 X(updating)s 3454 X(scheme.)s 3869 X(In)s 3991 X(this)s 4182 X(case)s 4400 X(we)s 4558 X(do)s 4699 X(not)s 4871 X(calculate)s 5290 X(all)s 720 X 2626 Y(of)s 847 X 0.0 11 11 f.I ft(Q)s 2648 Y 939 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 2626 Y 1024 X 0.0 11 11 f.R ft(but)s 1201 X(instead)s 1548 X(use)s 1730 X(the)s 1900 X(component-wise)s 2661 X(formula)s 3044 X(for)s 3207 X(the)s 3377 X(eigenvectors)s 3966 X(to)s 4088 X(pick)s 4313 X(o)s /Cff { (f) show xsiz pt 20 div neg 0 rmoveto (f) s } bind def Cff 4471 X(the)s 4641 X(appropriate)s 5175 X(com-)s 720 X 2786 Y(ponents)s 1090 X(needed)s 1427 X(to)s 1541 X(form)s 1782 X 0.0 11 11 f.I ft(q)s 2808 Y 1850 X 0.0 8 8 f.R ft(1)s 2786 Y 1927 X 0.0 11 11 f.R ft(\(for)s 2118 X(details)s 2433 X(see)s 2600 X([)s 2664 X(11,)s 2820 X(13].)s 3050 X(\))s 720 X 3106 Y /Times-Bold /Times-Bold-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.B /Times-Bold-8 findfont def 0.0 11 11 f.B ft(7.)s 859 X(Operations)s 1413 X(Counts)s 1778 X(and)s 1985 X(Storage)s 720 X 3326 Y 970 X 0.0 11 11 f.R ft(An)s 1135 X(analysis)s 1520 X(of)s 1642 X(the)s 1807 X(number)s 2173 X(of)s 2295 X(\257oating-point)s 2926 X(operations)s 3415 X(\(counting)s 3868 X(additions)s 4304 X(and)s 4494 X(multications\))s 5107 X(for)s 5266 X(the)s 720 X 3486 Y(reduction)s 1162 X(to)s 1276 X(tridiagonal)s 1780 X(form)s 2021 X(of)s 2140 X(the)s 2302 X(standard)s 2701 X(algorithm)s 3157 X(reveals)s 3494 X(an)s 3625 X(operation)s 4067 X(count)s 4339 X(of)s 720 X 3827 Y 1297 X(3)s 3684 Y 1297 X(4)s 3717 Y 1281 X /Cru { 0 ysiz pt 5 div 2 copy rmoveto (_) show neg rmoveto } bind def Cru 1314 X Cru 3750 Y 1380 X 0.0 11 11 f.I ft(n)s 3706 Y 1448 X 0.0 8 8 f.R ft(3)s 3750 Y 1497 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 3827 Y 1641 X(2)s 3684 Y 1641 X(7)s 3717 Y 1625 X Cru 1658 X Cru 3750 Y 1724 X 0.0 11 11 f.I ft(n)s 3706 Y 1792 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 3750 Y 1841 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 3827 Y 1985 X(6)s 3684 Y 1985 X(1)s 3717 Y 1969 X Cru 2002 X Cru 3750 Y 2068 X 0.0 11 11 f.I ft(n)s 2132 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( 25 )s 2396 X 0.0 11 11 f.I ft(\257ops.)s 720 X 4025 Y 0.0 11 11 f.R ft(In)s 846 X(aggregating)s 1398 X(the)s 1567 X(transformations)s 2291 X(to)s 2412 X(perform)s 2799 X(the)s 2968 X(block)s 3248 X(reduction)s 3698 X(additional)s 4174 X(work)s 4435 X(is)s 4545 X(required)s 4945 X(in)s 5067 X(the)s 5237 X(for-)s 720 X 4185 Y(mulation)s 1140 X(of)s 1259 X 0.0 11 11 f.I ft(y)s 4207 Y 1313 X 0.0 8 8 f.I ft(j)s 4185 Y 1372 X 0.0 11 11 f.R ft(in)s 1486 X(Algorithm)s 1973 X(1.)s 2112 X(The)s 2310 X(additional)s 2778 X(work)s 3031 X(for)s 3186 X(a)s 3262 X(block)s 3534 X(size)s 3732 X 0.0 11 11 f.I ft(p)s 3815 X 0.0 11 11 f.R ft(amounts)s 4216 X(to:)s 720 X 4449 Y 1270 X(\(2)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 1425 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 4526 Y 1569 X(2)s 4383 Y 1569 X(3)s 4416 Y 1553 X Cru 1586 X Cru 4449 Y 1652 X(\))s 0.0 11 11 f.I ft(n)s 4405 Y 1756 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 4449 Y 1805 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 4526 Y 2016 X(3)s 4383 Y 1986 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft(2)s 4416 Y 1970 X Cru 2009 X Cru Cru 4449 Y 2130 X 0.0 11 11 f.I ft(p)s 4405 Y 2198 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 4449 Y 2247 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( 2)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 2483 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft( )s 4526 Y 2655 X(6)s 4383 Y 2628 X(13)s 4416 Y 2612 X Cru 2645 X Cru Cru 4449 Y 2766 X(\))s 0.0 11 11 f.I ft(n)s 2866 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(+)s 0.0 11 11 f.R ft( \()s 4526 Y 3077 X(3)s 4383 Y 3047 X 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft(4)s 4416 Y 3031 X Cru 3070 X Cru Cru 4449 Y 3191 X 0.0 11 11 f.I ft(p)s 4405 Y 3259 X 0.0 8 8 f.R ft(2)s 4449 Y 3308 X 0.0 11 11 f.R ft( )s 0.0 11 11 f.S ft(-)s 0.0 11 11 f.R ft( 4)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 3544 X 0.0 11 11 f.R ft(\))s 720 X 4724 Y(\257oating)s 1085 X(point)s 1340 X(additions)s 1772 X(and)s 1958 X(multiplications)s 2648 X(being)s 2920 X(performed.)s 720 X 4944 Y 970 X(The)s 1173 X(algorithm)s 1634 X(can)s 1819 X(be)s 1956 X(organized)s 2421 X(so)s 2553 X(that)s 2752 X(the)s 2920 X(vectors)s 3270 X 0.0 11 11 f.I ft(u)s 4966 Y 0.0 8 8 f.I ft(i)s 4944 Y 3390 X 0.0 11 11 f.R ft(overwrite)s 3843 X(the)s 4011 X(lower)s 4294 X(part)s 4498 X(of)s 4623 X(the)s 4791 X(matrix)s 5112 X(\(as)s 5273 X(we)s 720 X 5104 Y(do)s 866 X(in)s 987 X(the)s 1156 X(standard)s 1562 X(version)s 1920 X(of)s 2046 X(the)s 2215 X(software\),)s 2690 X(but)s 2866 X(additional)s 3341 X(workspace)s 3843 X(of)s 3969 X(size)s 4174 X 0.0 11 11 f.I ft(n)s 4238 X 0.0 11 11 f.S ft(\264)s 0.0 11 11 f.I ft(p)s 4389 X 0.0 11 11 f.R ft(is)s 4498 X(required)s 4897 X(to)s 5018 X(store)s 5266 X(the)s 720 X 5264 Y(current)s 1057 X(block)s 1329 X(of)s 1448 X 0.0 11 11 f.I ft(V)s 0.0 11 11 f.R ft(.)s 720 X 5744 Y 0.0 11 11 f.B ft(8.)s 859 X(Experimental)s 1528 X(Results)s 720 X 5964 Y 970 X 0.0 11 11 f.R ft(The)s 1170 X(following)s 1628 X(results)s 1945 X(were)s 2186 X(generated)s 2640 X(on)s 2780 X(an)s 2913 X(Alliant)s 3249 X(FX/8)s 3506 X(computer)s 3950 X(using)s 4219 X(eight)s 4470 X(processors.)s 4991 X(The)s 5192 X(Alli-)s 720 X 6124 Y(ant)s 888 X(FX/8)s 1149 X(is)s 1257 X(a)s 1339 X(parallel)s 1701 X(processor)s 2154 X(where)s 2454 X(each)s 2687 X(of)s 2812 X(the)s 2980 X(processors)s 3476 X(has)s 3656 X(vector)s 3963 X(registers)s 4367 X(and)s 4558 X(can)s 4742 X(perform)s 5127 X(vector)s 720 X 6284 Y(operations.)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 11 11 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 520 Y 2941 X(- 15 -)s 720 X 880 Y 2893 X /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft(Table)s 3172 X(1)s 720 X 1040 Y 1990 X(Ratio)s 2257 X(of)s 2371 X(execution)s 2818 X(times)s 3078 X(\(speedups\))s 3580 X(between)s 3967 X(the)s 720 X 1200 Y 2130 X(EISPACK)s 2598 X(routine)s 2944 X(and)s 3137 X(the)s 3299 X(blocked)s 3667 X(version)s 720 X 1360 Y 2258 X(on)s 2396 X(the)s 2558 X(Alliant)s 2887 X(FX/8)s 3135 X(\(Blocksize)s 3613 X(=)s 3715 X(10\))s 720 X 1600 Y 2620 X 0.0 11 11 f.R ft(Ratio)s 3599 X(Ratio)s 720 X 1760 Y 1954 X(Order)s 2373 X(TRED1/TREDB)s 3272 X(ORTHES/ORTHSB)s 720 X 1810 Y 1954 X 0.0 11 11 f.S ft(_)s 1966 X(________________________________________)s 720 X 720 X 2130 Y 1998 X 0.0 11 11 f.R ft(100)s 2643 X(1.94)s 3622 X(2.59)s 720 X 2290 Y 1998 X(200)s 2643 X(2.39)s 3622 X(3.01)s 720 X 2450 Y 1998 X(300)s 2643 X(2.40)s 3622 X(3.23)s 720 X 2610 Y 1998 X(400)s 2643 X(2.39)s 3622 X(3.35)s 720 X 2770 Y 1998 X(500)s 2643 X(2.36)s 3622 X(3.46)s 720 X 2290 X 0.0 11 11 f.S2 ft(L)s 2760 Y(L)s 2650 Y(L)s 2540 Y(L)s 2430 Y(L)s 2320 Y(L)s 2210 Y(L)s 2100 Y(L)s 1990 Y(L)s 1880 Y(L)s 1770 Y(L)s 1660 Y(L)s 1550 Y(L)s 720 X 2770 Y 3189 X(L)s 2760 Y(L)s 2650 Y(L)s 2540 Y(L)s 2430 Y(L)s 2320 Y(L)s 2210 Y(L)s 2100 Y(L)s 1990 Y(L)s 1880 Y(L)s 1770 Y(L)s 1660 Y(L)s 1550 Y(L)s 720 X 3150 Y 0.0 11 11 f.R ft(The)s 918 X(following)s 1374 X(results)s 1689 X(were)s 1928 X(generated)s 2380 X(on)s 2518 X(the)s 2680 X(CRAY)s 3014 X(X-MP)s 3317 X(using)s 3584 X(one)s 3770 X(processor.)s 720 X 3310 Y 2893 X 0.0 11 11 f.I ft(Table)s 3172 X(2)s 720 X 3470 Y 1990 X(Ratio)s 2257 X(of)s 2371 X(execution)s 2818 X(times)s 3078 X(\(speedups\))s 3580 X(between)s 3967 X(the)s 720 X 3630 Y 2130 X(EISPACK)s 2598 X(routine)s 2944 X(and)s 3137 X(the)s 3299 X(blocked)s 3667 X(version)s 720 X 3790 Y 2278 X(on)s 2416 X(the)s 2578 X(Cray)s 2826 X(X-MP)s 3115 X(\(Blocksize)s 3593 X(=)s 3695 X(10\))s 720 X 4030 Y 2620 X 0.0 11 11 f.R ft(Ratio)s 3599 X(Ratio)s 720 X 4190 Y 1954 X(Order)s 2373 X(TRED1/TREDB)s 3272 X(ORTHES/ORTHSB)s 720 X 4240 Y 1954 X 0.0 11 11 f.S ft(_)s 1966 X(________________________________________)s 720 X 720 X 4560 Y 1998 X 0.0 11 11 f.R ft(100)s 2643 X(1.03)s 3622 X(1.29)s 720 X 4720 Y 1998 X(200)s 2643 X(1.10)s 3622 X(1.52)s 720 X 4880 Y 1998 X(300)s 2643 X(1.21)s 3622 X(1.65)s 720 X 5040 Y 1998 X(400)s 2643 X(1.23)s 3622 X(1.79)s 720 X 5200 Y 1998 X(500)s 2643 X(1.28)s 3622 X(1.92)s 720 X 2290 X 0.0 11 11 f.S2 ft(L)s 5190 Y(L)s 5080 Y(L)s 4970 Y(L)s 4860 Y(L)s 4750 Y(L)s 4640 Y(L)s 4530 Y(L)s 4420 Y(L)s 4310 Y(L)s 4200 Y(L)s 4090 Y(L)s 3980 Y(L)s 720 X 5200 Y 3189 X(L)s 5190 Y(L)s 5080 Y(L)s 4970 Y(L)s 4860 Y(L)s 4750 Y(L)s 4640 Y(L)s 4530 Y(L)s 4420 Y(L)s 4310 Y(L)s 4200 Y(L)s 4090 Y(L)s 3980 Y(L)s 720 X 5740 Y /Times-Bold /Times-Bold-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.B /Times-Bold-8 findfont def 0.0 11 11 f.B ft(9.)s 859 X(References)s 720 X 6220 Y(References)s 720 X 6500 Y 0.0 11 11 f.R ft(1.)s 970 X(M.)s 1126 X(Berry,)s 1433 X(K.)s 1570 X(Gallivan,)s 2006 X(W.)s 2167 X(Harrod,)s 2535 X(W.)s 2697 X(Jalby,)s 2988 X(S.)s 3109 X(Lo,)s 3290 X(U.)s 3428 X(Meier,)s 3748 X(B.)s 3881 X(Philippe,)s 4308 X(and)s 4497 X(A.)s 4635 X(Sameh,)s 4993 X(``Parallel)s 720 X 6660 Y 970 X(Algorithms)s 1500 X(on)s 1638 X(the)s 1800 X(CEDAR)s 2201 X(System,'')s 2654 X 0.0 11 11 f.I ft(CSRD)s 2957 X(Report)s 3284 X(No.)s 3469 X(581)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 3690 X(1986.)s 720 X 6880 Y(2.)s 970 X(C.)s 1115 X(Bischof)s 1500 X(and)s 1701 X(C.)s 1846 X(Van)s 2071 X(Loan,)s 2367 X(``The)s 2652 X(WY)s 2877 X(Representation)s 3578 X(for)s 3749 X(Products)s 4178 X(of)s 4313 X(Householder)s 4917 X(Matrices,'')s 720 X 7040 Y 970 X 0.0 11 11 f.I ft(SIAM)s 1247 X(J.)s 1351 X(Sci)s 1513 X(Stat.)s 1741 X(Comp.)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2088 X(vol.)s 2285 X(8,)s 2396 X(1,)s 2507 X(pp.)s 2673 X(s2-s13,)s 3016 X(January,)s 3412 X(1987.)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 11 11 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 520 Y 2941 X(- 16 -)s 720 X 880 Y(3.)s 970 X(I.)s 1063 X(Bucher)s 1408 X(and)s 1595 X(T.)s 1719 X(Jordan,)s 2068 X(``Linear)s 2454 X(Algebra)s 2835 X(Programs)s 3286 X(for)s 3443 X(use)s 3619 X(on)s 3759 X(a)s 3837 X(Vector)s 4164 X(Computer)s 4634 X(with)s 4860 X(a)s 4938 X(Secondary)s 720 X 1040 Y 970 X(Solid)s 1238 X(State)s 1492 X(Storage)s 1860 X(Device,'')s 2302 X(in)s 2421 X /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft(Advances)s 2873 X(in)s 2992 X(Computer)s 3465 X(Methods)s 3876 X(for)s 4038 X(Partial)s 4384 X(Di)s /Cff { (f) show xsiz pt 20 div neg 0 rmoveto (f) s } bind def Cff(erential)s 4925 X(Equations)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 720 X 1200 Y 970 X(ed.)s 1129 X(R.)s 1259 X(Vichnevetsky)s 1890 X(and)s 2076 X(R)s 2178 X(Stepleman,)s 2698 X(pp.)s 2864 X(546-550,)s 3286 X(IMACS,)s 3691 X(1984.)s 720 X 1420 Y(4.)s 970 X(D.A.)s 1226 X(Calahan,)s 1655 X(``Block-Oriented)s 2451 X(Local-Memory-Based)s 3460 X(Linear)s 3787 X(Equation)s 4226 X(Solution)s 4643 X(on)s 4795 X(the)s 4972 X(CRAY-2:)s 720 X 1580 Y 970 X(Uniprocessor)s 1615 X(Algorithms,'')s 2278 X 0.0 11 11 f.I ft(Proceedings)s 2887 X(International)s 3529 X(Conference)s 4095 X(on)s 4265 X(Parallel)s 4686 X(Processing)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 5262 X(pp.)s 720 X 1740 Y 970 X(375-378,)s 1392 X(IEEE)s 1657 X(Computer)s 2125 X(Society)s 2483 X(Press,)s 2771 X(August)s 3117 X(1986.)s 720 X 1960 Y(5.)s 970 X(J.J.)s 1141 X(Dongarra,)s 1610 X(J.)s 1710 X(DuCroz,)s 2114 X(I.)s 2207 X(Du)s Cff(,)s 2465 X(and)s 2652 X(S.)s 2771 X(Hammarling,)s 3384 X(``A)s 3565 X(Set)s 3736 X(of)s 3857 X(Level)s 4136 X(3)s 4221 X(Basic)s 4495 X(Linear)s 4810 X(Algebra)s 5192 X(Sub-)s 720 X 2120 Y 970 X(programs,'')s 1512 X(Argonne)s 1923 X(National)s 2329 X(Laboratory)s 2843 X(Report,)s 3198 X(ANL-P88-1,)s 3778 X(August)s 4124 X(1988.)s 720 X 2340 Y(6.)s 970 X(J.J.)s 1156 X(Dongarra)s 1612 X(and)s 1814 X(I.S.)s 2012 X(Du)s Cff(,)s 2285 X(``Advanced)s 2844 X(Architecture)s 3435 X(Computers,'')s 4063 X(Argonne)s 4491 X(National)s 4914 X(Laboratory)s 720 X 2500 Y 970 X(Report,)s 1325 X(ANL-MCS-TM-57)s 2195 X(\(Revision)s 2651 X(1\),)s 2798 X(January,)s 3194 X(1987.)s 720 X 2720 Y(7.)s 970 X(J.J.)s 1140 X(Dongarra)s 1581 X(and)s 1768 X(S.)s 1887 X(C.)s 2018 X(Eisenstat,)s 2472 X(``Squeezing)s 3030 X(the)s 3193 X(Most)s 3449 X(out)s 3619 X(of)s 3739 X(an)s 3871 X(Algorithm)s 4359 X(in)s 4474 X(Cray)s 4716 X(Fortran,'')s 5168 X 0.0 11 11 f.I ft(ACM)s 720 X 2880 Y 970 X(Trans.)s 1284 X(Math.)s 1572 X(Software)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2020 X(vol.)s 2217 X(10,)s 2383 X(3,)s 2494 X(pp.)s 2660 X(221-230,)s 3082 X(1984.)s 720 X 3100 Y(8.)s 970 X(J.J.)s 1145 X(Dongarra)s 1590 X(and)s 1781 X(T.)s 1909 X(Hewitt,)s 2269 X(``Implementing)s 2991 X(Dense)s 3298 X(Linear)s 3617 X(Algebra)s 4003 X(Algorithms)s 4539 X(Using)s 4836 X(Multitasking)s 720 X 3260 Y 970 X(on)s 1108 X(the)s 1270 X(CRAY)s 1604 X(X-MP-4,'')s 2098 X 0.0 11 11 f.I ft(SIAM)s 2375 X(J.)s 2479 X(Sci)s 2641 X(Stat.)s 2869 X(Comp.)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 3216 X(vol.)s 3413 X(7,)s 3524 X(1,)s 3635 X(pp.)s 3801 X(347-350,)s 4223 X(January,)s 4619 X(1986.)s 720 X 3480 Y(9.)s 970 X(J.J.)s 1142 X(Dongarra,)s 1612 X(L.)s 1738 X(Kaufman,)s 2204 X(and)s 2393 X(S.)s 2514 X(Hammarling,)s 3128 X(``Squeezing)s 3688 X(the)s 3853 X(Most)s 4111 X(out)s 4283 X(of)s 4405 X(Eigenvalue)s 4929 X(Solvers)s 5290 X(on)s 720 X 3640 Y 970 X(High-Performance)s 1812 X(Computers,'')s 2423 X 0.0 11 11 f.I ft(Linear)s 2745 X(Algebra)s 3127 X(and)s 3320 X(Its)s 3458 X(Applications)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 4071 X(vol.)s 4268 X(77,)s 4434 X(pp.)s 4600 X(113-136,)s 5022 X(1986.)s 720 X 3860 Y(10.)s 970 X(J.J.)s 1146 X(Dongarra)s 1592 X(and)s 1784 X(D.C.)s 2027 X(Sorensen,)s 2491 X(``Linear)s 2882 X(Algebra)s 3268 X(on)s 3412 X(High-Performance)s 4261 X(Computers,'')s 4879 X(in)s 5000 X 0.0 11 11 f.I ft(Proceed-)s 720 X 4020 Y 970 X(ings)s 1182 X(Parallel)s 1571 X(Computing)s 2089 X(85)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2255 X(ed.)s 2414 X(U.)s 2549 X(Schendel,)s 3007 X(pp.)s 3173 X(3-32,)s 3430 X(North)s 3714 X(Holland,)s 4124 X(1986.)s 720 X 4240 Y(11.)s 970 X(J.J.)s 1144 X(Dongarra)s 1588 X(and)s 1778 X(D.C.)s 2019 X(Sorensen,)s 2481 X(``A)s 2664 X(Fully)s 2930 X(Parallel)s 3297 X(Algorithm)s 3788 X(for)s 3947 X(the)s 4114 X(Symmetric)s 4630 X(Eigenvalue)s 5156 X(Prob-)s 720 X 4400 Y 970 X(lem,'')s 1263 X 0.0 11 11 f.I ft(SIAM)s 1540 X(J.)s 1644 X(Sci)s 1806 X(Stat.)s 2034 X(Comp.)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 2381 X(vol.)s 2578 X(8,)s 2689 X(2,)s 2800 X(March,)s 3141 X(1987.)s 720 X 4620 Y(12.)s 970 X(IBM,)s 1255 X(``Engineering)s 1912 X(and)s 2119 X(Scienti\256c)s 2584 X(Subroutine)s 3116 X(Library,'')s 3593 X 0.0 11 11 f.I ft(IBM)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 3864 X(vol.)s 4083 X(Program)s 4511 X(Number:)s 4951 X(5668-863,)s 720 X 4780 Y 970 X(1986.)s 720 X 5000 Y(13.)s 970 X(L.)s 1101 X(Jessup)s 1425 X(and)s 1620 X(D.)s 1764 X(Sorensen,)s 2231 X(``A)s 2419 X(Parallel)s 2791 X(Algorithm)s 3287 X(for)s 3451 X(Computing)s 3985 X(the)s 4156 X(Singular)s 4566 X(Value)s 4864 X(Decomposi-)s 720 X 5160 Y 970 X(tion)s 1170 X(of)s 1289 X(a)s 1365 X(Matrix,'')s 1792 X(Argonne)s 2203 X(National)s 2609 X(Laboratory)s 3123 X(Report,)s 3478 X(ANL-MCS-TM-102,)s 4431 X(November)s 4921 X(1987.)s 720 X 5380 Y(14.)s 970 X(B.)s 1102 X(Parlett,)s 1447 X(``Analysis)s 1934 X(of)s 2055 X(Algorithms)s 2587 X(for)s 2745 X(Re\257ections)s 3271 X(in)s 3388 X(Bisectors,'')s 3928 X 0.0 11 11 f.I ft(SIAM)s 4208 X(Review)s 0.0 11 11 f.R ft(,)s 4583 X(vol.)s 4783 X(13,)s 4952 X(2,)s 5066 X(pp.)s 5235 X(197)s 720 X 5540 Y 970 X(-)s 1034 X(208,)s 1255 X(April)s 1515 X(1971.)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 11 11 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth 720 X 520 Y 2941 X(- 17 -)s 720 X 880 Y 2583 X /Times-Bold /Times-Bold-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.B /Times-Bold-8 findfont def 0.0 11 11 f.B ft(LAPACK)s 3075 X(Working)s 3526 X(Notes)s 720 X 1360 Y 970 X 0.0 11 11 f.R ft(LAPACK)s 1438 X(Working)s 1856 X(Note)s 2097 X(#1)s 720 X 1680 Y 970 X(James)s 1290 X(Demmel,)s 1748 X(Jack)s 1994 X(J.)s 2117 X(Dongarra,)s 2609 X(Jeremy)s 2977 X(Du)s 3163 X(Croz,)s 3456 X(Anne)s 3745 X(Greenbaum,)s 4335 X(Sven)s 4607 X(Hammarling,)s 5242 X(and)s 720 X 1840 Y 970 X(Danny)s 1329 X(Sorensen,)s 1826 X /Times-Italic /Times-Italic-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.I /Times-Italic-8 findfont def 0.0 11 11 f.I ft(``Prospectus)s 2453 X(for)s 2649 X(the)s 2850 X(Development)s 3493 X(of)s 3645 X(a)s 3766 X(Linear)s 4126 X(Algebra)s 4546 X(Library)s 4949 X(for)s 5144 X(High-)s 720 X 2000 Y 970 X(Performance)s 1571 X(Computers,'')s 2183 X 0.0 11 11 f.R ft(Argonne)s 2595 X(National)s 3002 X(Laboratory,)s 3545 X(Mathematics)s 4141 X(and)s 4328 X(Computer)s 4798 X(Science)s 5168 X(Divi-)s 720 X 2160 Y 970 X(sion,)s 1210 X(Technical)s 1669 X(Memorandum)s 2319 X(No.)s 2509 X(97,)s 2675 X(September,)s 3200 X(1987.)s 720 X 2800 Y 970 X(LAPACK)s 1438 X(Working)s 1856 X(Note)s 2097 X(#2)s 720 X 3120 Y 970 X(Jack)s 1204 X(J.)s 1315 X(Dongarra,)s 1795 X(Sven)s 2055 X(J.)s 2166 X(Hammarling,)s 2790 X(and)s 2989 X(Danny)s 3322 X(C.)s 3465 X(Sorensen)s 3908 X 0.0 11 11 f.I ft(``Block)s 4270 X(Reduction)s 4756 X(of)s 4883 X(Matrices)s 5314 X(to)s 720 X 3280 Y 970 X(Condensed)s 1493 X(Forms)s 1815 X(for)s 1979 X(Eigenvalue)s 2507 X(Computations,'')s 3261 X 0.0 11 11 f.R ft(Argonne)s 3679 X(National)s 4092 X(Laboratory,)s 4641 X(Mathematics)s 5242 X(and)s 720 X 3440 Y 970 X(Computer)s 1438 X(Science)s 1806 X(Division,)s 2242 X(Technical)s 2701 X(Memorandum)s 3351 X(No.)s 3541 X(99,)s 3707 X(September,)s 4232 X(1987.)s 7920 Y page /Times-Roman /Times-Roman-8 roman-8-mappings AddRoman-8 /f.R /Times-Roman-8 findfont def 0.0 11 11 f.R ft /lineWidthScale 1.0000 def lineWidthScale xsiz mul 1.7 div setlinewidth restore %%Trailer %%DocumentFonts: restore